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Titel: Adaptive wavelet methods for a class of stochastic partial differential equations
Autor: Kinzel, Stefan
Weitere Beteiligte: Dahlke, Stephan (Prof. Dr.)
Erscheinungsjahr: 2016
URI: https://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2016/0058
DOI: https://doi.org/10.17192/z2016.0058
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2016-00584
DDC: 510 Mathematik
Titel(trans.): Adaptive Wavelet Methoden für eine Klasse von stochastischen partiellen Differentialgleichungen

Dokument

Schlagwörter:
Evolutionsgleichung, Stochastik, Numerische Mathematik, Adaptive Methoden, Wavelets, Besov-Regularität, Adaptive Methods, Wavelets, Besov-Regularity

Summary:
An abstract interpretation of Rothe’s method for the discretization of evolution equations is derived. The error propagation is analyzed and condition on the tolerances are proven, which ensure convergence in the case of inexact operator evaluations. Substantiating the abstract analysis, the linearly implicit Euler scheme on a uniform time discretization is applied to a class of semi-linear parabolic stochastic partial differential equations. Using the existence of asymptotically optimal adaptive solver for the elliptic subproblems, sufficient conditions for convergence with corresponding convergence orders also in the case of inexact operator evaluations are shown. Upper complexity bounds are proven in the deterministic case. The stochastic Poisson equation with random right hand sides is used as model equation for the elliptic subproblems. The random right hand sides are introduced based on wavelet decompositions and a stochastic model that, as is shown, provides an explicit regularity control of their realizations and induces sparsity of the wavelet coefficients. For this class of equations, upper error bounds for best N-term wavelet approximation on different bounded domains are proven. They show that the use of nonlinear (adaptive) methods over uniform linear methods is justified whenever sparsity is present, which in particularly holds true on Lipschitz domains of two or three dimensions. By providing sparse variants of general Gaussian random functions, the class of random functions derived from the stochastic model is interesting on its own. The regularity of the random functions is analyzed in certain smoothness spaces, as well as linear and nonlinear approximation results are proven, which clarify their applicability for numerical experiments.

Zusammenfassung:
Eine abstrakte Interpretation der Rothe Methode zur Diskretisierung von Evolutionsgleichungen wird hergeleitet. Die Fehlerfortpflanzung wird untersucht und Bedingungen an die Toleranzen werden bewiesen, welche die Konvergenz im Falle von approximativen Operatorauswertungen sicher stellen. Zur Untermauerung der abstrakten Analysis wird das linear implizite Eulerschema mit uniformer Zeitdiskretisierung auf eine Klasse von semi-linearen parabolischen stochastischen partiellen Differentialgleichungen angewendet. Unter Verwendung der Existenz von optimalen adaptiven Methoden f¨ur die elliptischen Teilprobleme werden hinreichende Bedingungen gezeigt, welche die Konvergenz mit zugeh¨origen Konvergenzordnungen auch im Fall von approximativen Operatorauswertungen sichern. Obere Komplexit¨atsschranken werden im deterministischen Fall bewiesen. Die stochastische Poissongleichung mit zuf¨alligen rechten Seiten dient als Modellgleichung f¨ur die elliptischen Teilprobleme. Die zuf¨alligen rechten Seiten werden, basierend auf Waveletentwicklungen, eingef¨uhrt anhand eines stochastischen Modells, welches, wie gezeigt wird, eine explizite Regularit¨atskontrolle deren Realisierungen bietet und d¨unn besetzte Entwicklungen induzieren kann. F¨ur diese Klasse von Gleichungen werden obere Fehlerschranken der besten N-term Waveletapproximation auf verschiedenen beschr¨ankten Gebieten bewiesen. Sie zeigen, dass die Verwendung von nichtlinearen (adaptiven) Methoden gegen¨uber uniformen linearen Methoden gerechtfertigt ist, insbesondere bei d¨unn besetzten Entwicklungen auf zwei oder drei dimensionalen Lipschitzgebieten. Die Klasse von zuf¨alligen Funktionen, welche aus dem stochastischen Modell abgeleitet werden kann, ist an sich interessant, da sie d¨unn besetzte Varianten von allgemeinen Gauß’schen zuf¨alligen Funktionen liefert. In verschiedenen Glattheitsr¨aumen wird die Regularit¨at der zuf¨alligen Funktionen analysiert, ebenso werden lineare und nichtlineare Approximationsergebnisse bewiesen, welche deren Anwendbarkeit in numerischen Experimenten verdeutlicht.


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