Nonparametric variance estimation

Im heteroskedastischen nichtparametrischen Regressionsmodell mit unbekanntem Erwartungswert f und Varianz V werden Probleme bezueglich der Varianz V untersucht. Im ersten Teil dieser Dissertation wird davon ausgegangen, dass die Varianz V Hoelder-stetig ist. Eine obere Schranke fuer das gleichmaessige Risiko mit einem linearen Schaetzer wird abgeleitet, wobei die Gausssche Approximation der Partialsummen unter Abhaengigkeit aus Berkes et al. (2014) und das Dudleys Theorem aus van der Vaart and Wellner (1996) genutzt werden. Gleichmaessige Bootstrap-Konfidenzbaender werden konstruiert und ihre asymptotisch korrekte Ueberdeckungswahrscheinlichkeit wird durch die Antikonzentrationsungleichung von Chernozhukov et al. (2014) verifiziert. Die asymptotische Normalitaet wird durch den zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller fuer m-abhaengige Variablen hergestellt, der von Janson (2021) bewiesen wird. In der Simulation werden zuerst die Resultate fuer die gleichmaessige Konvergenzrate und die gleichmaessigen Bootstrap-Konfidenzbaender mit der Orakel-Bandbreite dargestellt. Durch die Anwendung des Zwei-Schritte-Algorithmus von Bissantz et al. (2007) zur Auswahl der Bandbreite sowie einem zusaetzlichen Kalibrierungsprozess koennen zufriedenstellende Ergebnisse der gleichmaessigen Konfidenzbaender in endlichen Stichproben erhalten werden. Der zweite Teil beschaeftigt sich mit dem Fall eines Sprunges (Kink) in der Varianzfunktion V oder einer ihrer Ableitungen. Die Zero-Crossing-Time-Technik, die in Bengs and Holzmann(2019a) angewendet wird, wird auf die Varianzfunktion V uebertragen, um das punktweise Risiko fuer die Position und Groesse des Kinks zu ermitteln. Fuer die untere Schranke werden das Two-Point-Testing-Argument aus Tsybakov (2009) sowie die Moment-Matching-Technik aus Wang et al. (2008) angewendet, um die optimale Konvergenzrate abzuleiten. Die asymptotische Normalitaet fuer die Schaetzer der Position und Groesse des Kinks wird durch den zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller fuer m-abhaengige Variablen - bewiesen von Janson (2021) - hergestellt. Im dritten Teil wird das heteroskedastische nichtparametrische Regressionsmodell in der Funktionaldatenanalyse (FDA) betrachtet, wobei unabhaengige Kopien des Zufallprozesses Z im Modell beteiligt sind. Unter Verwendung eines linearen Schaetzers, der durch die differenz-basierte Methode aus Wang et al. (2008) konstruiert wird, wird eine obere Schranke fuer das gleichmaessige Risiko der Varianz des zufaelligen Rauschens hergeleitet. Dazu werden die Gausssche Approximation der Partialsummen unter Abhaengigkeit aus Berkes et al. (2014) und das Dudleys Theorem aus van der Vaart and Wellner (1996) verwendet. Die gleichmaessige Konvergenzrate wird durch eine numerische Simulation bestaetigt, wobei die Fehlerzerlegung mit der Orakel-Bandbreite dargestellt wird. Zufriedenstellende Ergebnisse in endlichen Stichproben koennen mittels K-Fold Crossvalidations und des Zwei-Schritte-Algorithmus von Bissantz et al. (2007) erreicht werden.