On 3-(α,δ)-Sasaki Manifolds and their Canonical Submersions

Wir untersuchen 3-(α,δ)-Sasaki Mannigfaltigkeiten anhand ihrer kanonischen Zusammenhänge. Diese sind eine Klasse von metrischen fast 3-Kontaktmannigfaltigkeiten, welche dη_i = 2αΦ_i + 2(α − δ)η_j ∧ η_k erfüllen, und daher eine Verallgemeinerung von 3-Sasaki Mannigfaltigkeiten darstellen. Sie besitzen einen Zusammenhang ∇ mit paralleler, schief-symmetrischer Torsion, der eindeutig durch ∇_Xφ_i = β(η_k(X)φ_j − η_j(X)φ_k), β ∈ R (1) gegeben ist. Dies führt zu einer Reduktion der Holonomie hol(∇) ⊂ (sp(n) ⊕ sp(1)) ⊕ so(3) und induziert dadurch eine lokal definierte Riemannsche Submersion π entlang der Reeb Orbits. Die so gegebene kanonische Submersion verbindet die Geometrie der Basis N mit dem Totalraum durch die zentrale Beziehung ∇^{gN}_X Y = π_∗(∇_X Y). (2) Kombinieren wir (1) und (2), so erhalten wir für die Projektionen φˇ_i von φ_i ∇^{gN}_X φˇ_i = 2δ(ηˇ_k(X)φˇ_j − ηˇ_j(X)φˇ_k) und definieren dadurch eine quaternionisch Kähler Struktur auf der Basis N. Wir zeigen, dass die Skalarkrümmung von N durch scal_gN = 16n(n+2)αδ gegeben ist, was zu wesentlich unterschiedlichem Verhalten in den Fällen αδ = 0, αδ > 0 und αδ < 0 führt. Wir bezeichnen diese als den degenerierten, positiven oder negativen Fall. Nicht-degenerierte homogene 3-(α, δ)-Sasaki Mannigfaltigkeiten sind besonders gut zu untersuchen, da die ihnen zugrunde liegenden homogenen quaternionisch Kähler Räume von nicht verschwindender Skalarkrümmung klassifiziert sind. Die erste Option sind symmetrische Räume von kompaktem (scal_gN > 0) und nicht kompaktem (scal_gN < 0) Typ. Wir geben eine vereinheitlichte Beschreibung dieses Falles und zeigen dabei, wie Paare von positiven und negativen 3-(α, δ)-Sasaki Mannigfaltigkeiten als Quotienten einfacher Lie-Gruppen entstehen. Die andere Option sind Alekseevsky Räume, also homogene Räume mit transitiver Wirkung einer auflösbaren Gruppe. Obwohl diese schwieriger zu handhaben sind als solche mit transitiver Wirkung einer einfachen Gruppe, erhalten wir durch behutsame Konstruktion weitere Beispiele negativer homogener 3-(α, δ)-Sasaki Mannigfaltigkeiten. Im dritten Teil nutzen wir nochmals (2), um die Krümmung zu untersuchen. Dies führt zu einer Zerlegung des kanonischen Krümmungsoperators R = αβR_⊥ + R_par, wobei R_⊥ durch die 3-(α,δ)-Sasaki Struktur bestimmt ist und R_par die Riemannsche Krümmung der quaternionisch Kähler Basis widerspiegelt. Falls R_gN ≥ 0 oder R_gN ≤ 0 und entsprechende Parameter α, δ gegeben sind, erhalten wir aus der Zerlegung die jeweilige Eigenschaft auch für R. Via R_g = R + 1/4T + 1/4S_T haben wir auch Kontrolle über die Positivität von R_g. Diese Ergebnisse sind maßgeschneidert für den ersten Typ von homogenen Beispielen, da ihre symmetrische Basis automatisch entweder R_gN ≥ 0 oder R_gN ≤ 0 erfüllt, je nachdem, ob sie kompakt ist oder nicht. Wir erhalten semi-definite Krümmungsoperatoren auf all diesen und in manchen Fällen sogar stark positive Krümmung.