Asymptotics for selected Risk Measures under general assumptions

In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit der Analyse von asymptotischen Eigenschaften ausgewählter Risikomaße unter allgemeinen Annahmen. Betrachten wir einen Mechanismus in der realen Welt, sollten Aussagen über dessen zukünftigen Zustand von probabilistischer Natur sein, sodass Abweichungen der Vorhersage von dem später beobachteten Zustand möglich sind. Diese Abweichungen werden als Risiko bezeichnet. Risikomaße bieten eine Möglichkeit, dieses Risiko zu quantifizieren, sodass beispielsweise Entscheidungen auf Grundlage dieser Werte möglich werden. Normalerweise müssen die Risikomaße in der Praxis geschätzt werden, da der wahre Mechanismus unbekannt ist. Um Risikomaße vernünftig anwenden zu können, sollten sie gewisse Eigenschaften erfüllen, die allgemein anerkannte Prinzipien von Risiko, insbesondere Prinzipien aus der Finanzmathematik, widerspiegeln. Dazu gehören: - Normalisierung: Wir sollten keinem Risiko ausgesetzt sein, wenn wir keine Anlage besitzen; - Translationsinvarianz: Fügen wir eine Anlage mit sicherer Rendite zu unserem Portfolio hinzu, sollte sich das Risiko des gesamten Portfolios um diesen Betrag verringern; - Monotonie: Hat eine Anlage immer eine bessere Rendite als eine andere, sollte erstere ein höheres Risiko besitzen; - Sub-Additivität: Das Risiko eines Portfolios darf die Summe der Risiken der einzelnen Positionen nicht überschreiten (Risikodiversifizierung); - Positive Homogenität: Kaufen wir einen anderen Anteil einer Anlage, sollte das Risiko entsprechend skalieren. Risikomaße, die diese Eigenschaften erfüllen, werden kohärent genannt und sind wichtige Kriterien für die Wahl eines Risikomaßes. Das erste Maß, mit dem wir uns während der Arbeit beschäftigen, ist der Value at Risk. Dieser ist eines der ältesten genutzten Risikomaße und wird vom Basler Ausschuss für Bankenaufsicht als zu nutzendes Risikomaß vorgeschlagen. Definitionsgemäß ist der Value at Risk zu einem fixierten Level ein Quantil der Verlustverteilung und beantwortet somit die Frage, welcher Verlust mit einer Wahrscheinlichkeit größer als (oder gleich) dem Level nicht überschritten wird. Alternativ kann der Value at Risk als Minimum einer Kontrastfunktion definiert werden, was viele statistische Methoden ermöglicht. In der Literatur werden viele Schätzer für Quantile vorgeschlagen und auf das asymptotische Verhalten - wie Konsistenz für das wahre Quantil und schwache Konvergenz - untersucht. Wir wählen hauptsächlich das empirische Quantil einer Stichprobe als Schätzer für das wahre Quantil, für welches die schwache Konvergenz unter Standardannahmen hinreichend untersucht wurde. Genauer gilt, dass, wenn die Verlustfunktion im betrachteten Quantil differenzierbar mit positiver Ableitung ist, die Folge zentrierte und reskalierte Folge der empirischen Quantile schwach gegen eine Normalverteilung konvergiert. Problematisch bei der Anwendung des Value at Risk ist die fehlende sub-Additivität, sodass Diversifikation verhindert werden könnte. Als Alternative wurde daher der Expected Shortfall eingeführt, welches das zweite Risikomaß ist, das wir in der Arbeit betrachten. Es ist definiert als Mittel der Value at Risk Werte, die bis zu einem fixierten Level auftreten, und beantwortet somit die Frage, wie hoch der Verlust im Mittel oberhalb eines Levels ist. Mittlerweile wird auch der Expected Shortfall vom Basler Ausschuss für Bankenaufsicht zur Nutzung vorgeschrieben. Es stellt sich heraus, dass der Expected Shortfall ein kohärentes Risikomaß ist, leider aber nicht als Minimum einer geeigneten Kontrastfunktion in einer Variablen definiert werden kann. Ersteres unterstützt die Wahl des Expected Shortfalls als Risikomaß, letzteres macht eine Anwendung fraglich. Es konnte aber gezeigt werden, dass das Paar (Value at Risk, Expected Shortfall) das Minimum einer Kontrastfunktion in zwei Variablen ist. Auch für den Expected Shortfall wurden verschiedene Schätzer vorgeschlagen und auf das asymptotische Verhalten untersucht. Wir betrachten den Schätzer, welcher als Minimierer der empirischen Kontrastfunktion entsteht. Unter den Regularitätsannahmen an die Verlustfunktion wie oben, besitzt auch hier die zentrierte und reskalierte Folge der empirischen Expected Shortfalls eine Normalverteilung als schwachen Grenzwert. In der Arbeit befinden wir uns in der folgenden Situation: Ist die Verlustfunktion im gewählten Quantil nicht regulär, können schwache Grenzwerte der empirischen Quantile auftreten, die nicht-normal sind. Darüber hinaus muss in diesem Fall oft eine Konvergenzrate gewählt werden, welche langsamer als die normale parametrische Rate ist. Betrachten wir nun in einer solchen Situation den bivariaten Parameter (Value at Risk, Expected Shortfall), stellt sich die Frage, ob auch für den Expected Shortfall eine andere Konvergenzrate gewählt werden muss und ob sich der schwache Grenzwert ändert. Wie wir gezeigt haben, ist das nicht der Fall: Das Konvergenzverhalten des Quantils hat keinen Einfluss auf die Konvergenzrate oder die asymptotische Verteilung des Expected Shortfalls. Unser Resultat formulieren wir auch für den multivariaten Fall, in dem mehrere Level gleichzeitig betrachtet werden. Außerdem verallgemeinern wir das erzielte Ergebnis auf eine größere Klasse von Risikomaßen, genauer auf solche, deren erster Eintrag ein Bayes-Schätzer und deren zweiter Eintrag das zugehörige Bayes-Risiko ist. Diese Klasse beinhaltet das Paar (Value at Risk, Expected Shortfall) als Spezialfall. Ein drittes, weitverbreitetes Risikomaß ist das Expektil. Das Expektil kann als Minimum einer Kontrastfunktion definiert werden und ist kohärent; dies ist eine einmalige Eigenschaft unter Risikomaßen. Während der Expected Shortfall nur Verluste über einem gewissen Level gewichtet, berücksichtigt das Expektil auch Abweichungen nach unten. Wie für die bisherigen Risikomaße betrachten wir das empirische Analogon des Expektils, also den Schätzer, welcher als Minimierer der empirischen Kontrastfunktion gegeben ist. Betrachten wir die Folge von Abbildungen, welche ein Level auf das zugehörige zentrierte und reskalierte Expektil schickt, so kann dies als stochastischer Prozess (mit fast sicher stetigen Pfaden) interpretiert werden, dieser trägt den Namen empirischer Expektil Prozess. Für dieses Objekt wurde schwache Konvergenz bezogen auf die Supremums-Norm gegen einen Gauß'schen Prozess gezeigt, falls die zugrunde liegende Verteilung stetig auf einer Umgebung von dem betrachteten Interval ist. Ebenso wurde gezeigt, dass punktweise ein nicht-normaler Grenzwert der Folge auftritt, falls die Verteilungsfunktion im fixierten Expektil Masse besitzt. Wir untersuchen in diesem Fall die schwache Konvergenz des empirischen Expektil Prozesses, wobei dann der Grenzprozess keine stetigen Pfade mehr besitzen kann. Damit ist die Supremum-Norm für diese Situation nicht geeignet, da in dieser eine stetige Funktion nicht gegen eine unstetige Funktion konvergieren kann. Wir nutzen daher die hypi-Semimetrik, welche für solche Situationen vorgeschlagen wurde. Zuletzt betrachten wir die Verteilungskonvergenz des empirischen Quantil Prozesses unter schwachen Annahmen an die Verteilungsfunktion. Auch dieses Resultat verallgemeinert bekannte Ergebnisse über das Quantil.