Quarklets: Construction and Application in Adaptive Frame Methods

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Konstruktion und Anwendung einer neuen Klasse von Funktionen, den Quarklets. Mit der Absicht adaptive hp-Verfahren basierend auf Wavelets zu konstruieren, entstehen Quarklets durch die Anreicherung von Wavelets mit Polynomen. Zunächst beginnen wir auf der reellen Achse. Hier erhalten wir einen Frame des Sobolev-Raums H^s(R). Durch eine Randanpassung, Tensorierung und die Anwendung eines skalenabhängigen Fortsetzungsoperators sind wir sogar in der Lage Quarklet-Frames auf sehr generellen Gebieten in mehreren Dimensionen zu konstruieren. Mit diesen Frames können wir lineare elliptische Operatorgleichungen auf stabile Art und Weise diskretisieren. Das diskrete System kann daraufhin mit einem adaptiven numerischen Verfahren gelöst werden. Dafür ist es notwendig, die Kompressibilität der zugehörigen Steifigkeitsmatrix nachzuweisen. Dies tun wir für das prototypische Beispiel der Poisson-Gleichung unabhängig von der Raumdimension. Dadurch sind wir in der Lage die Optimalität des Quarklet-Verfahrens zu beweisen. Letzteres bedeutet, dass wir asymptotisch die Konvergenzrate der besten n-Term-Quarklet-Approximation erreichen. Abschließend führen wir einige numerische Experimente in ein und zwei Raumdimensionen durch. Die theoretischen Resultate werden dabei unterstrichen und darüber hinaus wird der Anteil der Quarklets durch die Verteilung der Koeffizienten der Lösung in der Praxis sichtbar.