Supersymmetry in Conformal Geometric and Number-Theoretical Quantum Mechanics

In dieser Dissertation wird eine supersymmetrische Formulierung der Quantenmechanik auf konformen Mannigfaltigkeiten entwickelt, die auf Ergebnissen meiner Masterarbeit [77] aufbaut. Supersymmetrie stellt auf diesem Wege einen Zusammenhang zwischen Quantenmechanik auf konformen Mannigfaltigkeiten, der Spektralgeometrie von Schrödinger- Operatoren und Topologie her. Ein physikalisch motivierter Beweis der Abschätzung von Yang und Yau für den ersten Eigenwert des Laplace-Operators auf kompakten Riemannschen Flächen [80] wird, basierend auf diesen Überlegungen, vorgestellt. Die Beweisidee kann schließlich auf Schrödinger-Operatoren übertragen werden. Eine Anwendung der Eigenwertabschätzung für Schrödinger-Operatoren auf das Coulomb-Problem und den harmonischen Oszillator wird vorgestellt. Weiterhin wird die Anwendung von Supersymmetrie auf Spin-Ketten motiviert, indem explizit das eindimensionale Ising-Modell mit Nächster-Nachbar-Wechselwirkung supersymmetrisch interpretiert wird. Motiviert durch Ref. [53], wird der Witten-Index [74] für Spin- Ketten eingeführt, welcher das zu Boltzmann-Faktoren korrespondierende Objekt auf dem dualen Konfigurationsraum ist. Dadurch wird ein Zusammenhang zwischen Witten-Indizes und n-Punkt-Korrelationsfunktionen hergestellt, so dass die Spin-Spin-Wechselwirkung durch die Betrachtung von Witten-Indizes auf Spin-Ketten interpretiert werden kann. Durch Anwendung der Ergebnisse auf entsprechende Unterräume des Konfigurationsraumes, wird ein rigoroser Zugang zum Vakuumerwartungswert für den Dichteoperator einer Spin-Kette erarbeitet, indem der Vakuumerwartungswert über n-Punkt-Korrelationsfunktionen ausgedrückt wird. Der Spezialfall supersymmetrischer Spin-Ketten wird behandelt, ferner wird gezeigt, dass in solchen Systemen keine Phasenübergänge auftreten können. Es existieren zahlreiche Zugänge zur Riemannschen Zetafunktion und der Riemannschen Vermutung durch Verwendung von Konzepten aus der Physik, siehe, z.B., Ref. [69]. Einen vielversprechenden Ansatz stellt das Primonen-Gas, auch Riemann-Gas genannt, dar, welches Zahlentheorie mit Quantenfeldtheorie und Statistischer Physik verbindet und von Julia [49] und Spector [70] unabhängig voneinander eingeführt wurde. Das Primonen-Gas beschreibt ein kanonisches Ensemble, welches die Riemannsche Zetafunktion �(�) als Zustandssumme hat, wobei � = T−1 die inverse Temperatur ist. Da die Riemannsche Zetafunktion eine Singularität bei � = 1 besitzt, siehe, z.B., Ref. [6], erreicht das Primonen-Gas seine Hagedorn-Temperatur [36–40] an diesem Punkt, siehe Refn. [49, 70]. Das Verhalten des Primonen-Gases im Bereich jenseits der Hagedorn-Temperatur ist bisher nicht zufriedenstellend bekannt, allerdings gibt es hierzu Ansätze [23, 50]. In der Physik kondensierter Materie ist bekannt, dass hadronische Materie beim Erreichen der Hagedorn-Temperatur instabil wird [36–40]. Eine ähnliche Situation liegt in der Stringtheorie [7] und im Kontext von zahlentheoretisch motivierten Modellen [50] vor. Aufbauend auf der supersymmetrischen Erweiterung des Primonen-Gases [70, 71] wird ein Modell untersucht, das eine enge Verwandtschaft zum Primonen-Gas aufweist. Der Phasenübergang beim Erreichen der Hagedorn-Temperatur wird als Kopplung der Fermionen des supersymmetrischen Primonen-Gases und denen eines Gases von harmonischen Oszillatoren zu Bosonen-artigen Paaren erklärt. Hierbei liegt eine konzeptionelle Vergleichbarkeit mit den Cooper-Paaren der BCS-Theorie [9, 10, 21] vor. Darauf basierend wird ein neuartiger Zugang zur Riemannschen Vermutung vorgestellt.