Quandles and Hurwitz Orbits

In dieser Arbeit untersuchen wir Quandles und Hurwitz-Bahnen. Quandles sind selbst distributive algebraische Strukturen mit drei Axiomen, die mit drei Reidemeister- Bewegungen von Knotendiagrammen verwandt sind. Racks sind eine Verallgemeinerung von Quandles. Die Verknüpfung eines Quandles ist wie die Konjugation in einer Gruppe. Die algebraische Struktur von Quandles kann als Folgen von Permutationen untersucht werden. Die Zykel-Struktur der Permutationen eines unzerlegbaren Racks (bzw. Quan- dles) verhält sich gut, weil die Permutationen eines unzerlegbaren Racks (bzw. Quan- dles) zueinander konjugiert sind und daher die gleiche Zykel-Struktur haben. In [18], beobachtet C. Hayashi eine weitere interessante Eigenschaft der Zykel-Struktur eines unzerlegbaren Quandles und vermutet, dass die Permutation eines unzerlegbaren Quan- dles Zykel hat, deren Zykellängen die größte unter ihnen teilen. In Kapitel 1 dieser Arbeit untersuchen wir die Zykel-Struktur von Quandles mit dem Schwerpunkt auf der Vermutung von Hayashi. In Abschnitt 1.4.7 diskutieren wir die Klassen unzerlegbarer Quandles, für die die Vermutung von Hayashi wahr ist. In Abschnitt 1.4.2 geben wir Einschränkungen für die Zykel-Struktur bestimmter unzerlegbarer Quandles, die zu den wichtigsten Ergebnissen dieser Arbeit gehören. Racks und dieWirkung der Zopfgruppe auf den Potenzen von Racks sind für die Klas- siVzierung bestimmter Hopfalgebren nützlich (siehe [2], [3] [15], [21], [22]). Hurwitz- Bahnen sind die Bahnen einer Wirkung der Zopfgruppe auf der Potenz eines Racks. Die Hurwitz–Bahnen für die Wirkung der Zopfgruppe auf drei Strängen werden in [21] und [22] für die KlassiVzierung bestimmter Hopfalgebren verwendet. Diese KlassiVzierung basiert auf einer kombinatorischen Invarianten der Hurwitz-Bahnen, die Plage genannt wird. Die Immunität einer Hurwitz-Bahn ist der Quotient aus der Größe der minimalen Plage und der Größe der Hurwitz-Bahn. Eine Abschätzung über die Immunität der Hurwitz-Bahnen wird in [22] gegeben mit Hilfe von markierten Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten und den Gewichten der Hurwitz-Bahnen, wobei das Gewicht einer Hurwitz-Bahn durch ihre Zykel-Struktur deVniert ist. In Kapitel 2 erinnern wir an die Ergebnisse zu Hurwitz-Bahnen und das Verfahren zur Abschätzung der Immu- nität der Hurwitz-Bahnen aus [15], [21] und [22]. Man beachte, dass in [22] nur wenige Schreier-Graphen mit kleinen Zykeln betrachtet werden, für die gezeigt wird, dass die Immunität der Hurwitz-Bahnen nach oben durch ihre Gewichte beschränkt ist. In Kapitel 3 stellen wir eine neue Methode vor, um die Plage einer Hurwitz-Bahn zu berechen und die Immunität einer Hurwitz-Bahn abzuschätzen. Mit dieser Meth- ode kann man unendlich viele Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten mit alle Zyklen studieren. UnsereMethode basiert auf den posets bestimmter Teilgraphen, genannt robuste Subgraphen, von punktierten Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten. Wir schätzen die Immunität der Hurwitz-Bahnen durch eine Fall-zu-Fall-Analyse von punktierten Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten. Mit dieser Analyse betrachten wir die Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten, für die die Immunität der Hurwitz-Bahn von oben durch ein Viertel beschränkt ist. Alle in Kapitel 1 und Kapi- tel 3 bewiesenen Resultate werden vom Autor als originell behauptet.