Adaptive wavelet methods for a class of stochastic partial differential equations

Eine abstrakte Interpretation der Rothe Methode zur Diskretisierung von Evolutionsgleichungen wird hergeleitet. Die Fehlerfortpflanzung wird untersucht und Bedingungen an die Toleranzen werden bewiesen, welche die Konvergenz im Falle von approximativen Operatorauswertungen sicher stellen. Zur Untermauerung der abstrakten Analysis wird das linear implizite Eulerschema mit uniformer Zeitdiskretisierung auf eine Klasse von semi-linearen parabolischen stochastischen partiellen Differentialgleichungen angewendet. Unter Verwendung der Existenz von optimalen adaptiven Methoden f¨ur die elliptischen Teilprobleme werden hinreichende Bedingungen gezeigt, welche die Konvergenz mit zugeh¨origen Konvergenzordnungen auch im Fall von approximativen Operatorauswertungen sichern. Obere Komplexit¨atsschranken werden im deterministischen Fall bewiesen. Die stochastische Poissongleichung mit zuf¨alligen rechten Seiten dient als Modellgleichung f¨ur die elliptischen Teilprobleme. Die zuf¨alligen rechten Seiten werden, basierend auf Waveletentwicklungen, eingef¨uhrt anhand eines stochastischen Modells, welches, wie gezeigt wird, eine explizite Regularit¨atskontrolle deren Realisierungen bietet und d¨unn besetzte Entwicklungen induzieren kann. F¨ur diese Klasse von Gleichungen werden obere Fehlerschranken der besten N-term Waveletapproximation auf verschiedenen beschr¨ankten Gebieten bewiesen. Sie zeigen, dass die Verwendung von nichtlinearen (adaptiven) Methoden gegen¨uber uniformen linearen Methoden gerechtfertigt ist, insbesondere bei d¨unn besetzten Entwicklungen auf zwei oder drei dimensionalen Lipschitzgebieten. Die Klasse von zuf¨alligen Funktionen, welche aus dem stochastischen Modell abgeleitet werden kann, ist an sich interessant, da sie d¨unn besetzte Varianten von allgemeinen Gauß’schen zuf¨alligen Funktionen liefert. In verschiedenen Glattheitsr¨aumen wird die Regularit¨at der zuf¨alligen Funktionen analysiert, ebenso werden lineare und nichtlineare Approximationsergebnisse bewiesen, welche deren Anwendbarkeit in numerischen Experimenten verdeutlicht.