Localized transition states in many-particle systems

Diese Arbeit befasst sich mit der Untersuchung des Übergangs von der Ordnung zum Chaos in zwei unterschiedlichen Systemen. Dabei finden sowohl numerische Simulationen als auch theoretische Überlegungen ihre Anwendung. Bekannte Beispiele solcher Übergänge sind unter anderem das Schmelzen eines Kristalls oder der Turbulenzübergang einer laminaren Strömung. Gemein ist ihnen, dass die Änderung eines äußeren Parameters, wie zum Beispiel der Temperatur, eine schlagartige Veränderung der Eigenschaften des Systems zur Folge hat: Aus der geordneten, wohldefinierten Struktur eines Kristalls entwickelt sich die ungeordnete, zufällige Konfiguration einer Flüssigkeit. Im ersten Teil untersuchen wir den Einfluss einer linearen, periodischen Scherung auf ein System sich gegenseitig abstoßender Partikel. Dies kann als ein Modell für ein gut bekanntes Phänomen betrachtet werden, dem Vermischen eines Farbkleckses in einer Flüssigkeit zwischen zwei konzentrischen Zylindern. Werden diese langsam genug hin und her bewegt, sodass die Strömung laminar bleibt, ist ein Entmischen des Kleckses möglich, der Vorgang ist reversibel. Etwas Ähnliches lässt sich in dem hier untersuchten, einfachen zweidimensionalen Modell-System beobachten: Bei kleinen Scherraten kommt es zu einer Selbstorganisation der Teilchen in eine Gitter-Konfiguration. Allerdings findet oberhalb einer kritischen Scherrate ein abrupter Wechsel statt und das System befindet sich - und bleibt - in einem ungeordneten, chaotischen Zustand. Es ist uns möglich, den Übergang mit dem Verlust der Stabilität des Gitters unter Scherung in Verbindung zu bringen. Im chaotischen Regime enthüllen die räumlich aufgelösten Korrelationen weitere Strukturen und es ist uns möglich, Phaseninformationen aus ihnen zu entnehmen. Des Weiteren bieten sie einen Erklärungsansatz, wieso die Diffusion parallel zur Scherung über die bekannte Kopplung an die Advektion hinaus verstärkt wird. Im weiteren Verlauf der Arbeit widmen wir uns einem aus dem Alltag bekannten Übergang, dem Schmelzen eines festen Körpers. Dabei beschränken wir uns auf ein zweidimensionales Modell ähnlich demjenigen aus dem ersten Teil. Wir interessieren uns insbesondere für die mikroskopischen Prozesse, die letztendlich im Schmelzen des Kristalls münden. Daher führen wir zunächst Molekular-Dynamik Simulationen durch, welche durch die errechneten Trajektorien tiefere Einblicke in die Dynamik erlauben. Nahe des Schmelzpunktes beobachten wir zunächst vereinzelte, lokale Prozesse bei denen mehrere Teilchen ihre Positionen austauschen. Mittels einer Projektion auf den energetisch minimalen Zustand können diese Übergänge als Tauschprozesse im unterliegenden Gitter identifiziert werden. Sobald mehrere dieser Prozesse gleichzeitig auftreten, die Temperatur also erhöht wurde, kommt es zu weiterführenden Umordnungen und letztlich zum Schmelzen des Festkörpers. Aus diesem Grund untersuchen wir im weiteren Verlauf den Schmelzvorgang im Hinblick auf einen Raten-aktivierten Prozess, welcher durch lokalisierte Umordnungen einiger weniger Teilchen induziert wird. Wir identifizieren Übergänge und zugehörige Übergangszustände, welche bis zu 18 Teilchen umfassen sowie Auswirkung auf bis zu etwa 25 Teilchen haben und somit gut lokalisiert sind. Wir charakterisieren diese Zustände, sowohl durch ihre Anordnung im Konfigurationsraum, als auch durch thermodynamisch relevante Größen wie etwa Energiebarrieren. Wir bestimmen die Übergangsraten in Abhängigkeit von der Temperatur und vergleichen diese mit der Schmelztemperatur des Systems. Es zeigt sich, dass die Raten alleine nicht ausreichen um ein Schmelzen zu erklären. Allerdings ist dies im Einklang mit der Beobachtung, dass die lokalisierten Umordnungen zu sekundären Prozessen führen, welche letztendlich das Gitter aufbrechen und somit den Schmelzvorgang einleiten. Im Laufe unserer Untersuchungen betrachten wir auch die elastischen Eigenschaften des Systems. Der Kristall, bestehend aus einzelnen Partikeln, kann mit elastischen Konstanten eines kontinuierlichen Körpers beschrieben werden. Dabei kann das Verschiebungsfeld, welches durch die lokale Störung eines Transition States hervorgerufen wird, durch die Überlagerung der Verschiebungsfelder mehrerer Punktkräfte, die auf ein elastisches Medium wirken, angenähert werden. Die Veränderung der Abschirmung des Potentials führt nicht nur zu einer Reskalierung der Energie des Systems, sondern verändert auch dessen elastische Eigenschaften. Dies spiegelt sich teilweise auch in den Übergangszuständen wider. Die grundlegende Konfiguration bleibt zwar nahezu unverändert, jedoch ändern sich die Energiebarrieren und Verschiebungsfelder. Wir bemühen ein weiteres Mal das Ratenmodell um die Übergangsrate an der kritischen Temperatur zu bestimmen. Ein abschließender Vergleich mit Ergebnissen aus MD-Simulationen und weiteren Vorhersagen zeigt, dass das Modell die Abhängigkeit der Schmelztemperatur von der Abschirmung des Potentials sehr gut erfasst.