Localized states in the transition to turbulence in plane Poiseuille flow and thermal boundary layers

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Untersuchung des Turbulenzübergangs und auftretender lokalisierter Strukturen in der ebenen Poiseuille-Strömung und dem asymptotischen Ansaugprofil über einer geheizten Platte. Die laminaren Profile beider Strömungen zeigen eine lineare Instabilität und im sogenannten subkritischen Bereich, wo das laminare Profil stabil ist, kann man jeweils überdauernde, aber dennoch transiente Turbulenz beobachten. In beiden Strömungen können eine Vielzahl von exakten Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen mit speziellen numerischen Verfahren aufgespürt werden. Eine genauere Analyse zeigt, dass in beiden Systemen der Ursprung der subkritischen Turbulenz auf eine Bifurkationskaskade zurückgeführt werden kann, welche ihren Ausgangspunkt in einer solchen exakten Lösung hat. Die Bifurkationskaskade erzeugt einen chaotischen Attraktor, der durch eine äußere Krisenbifurkation (Boundary crisis bifuration) in einen chaotischen Sattel mit exponentiell verteilten Lebenszeiten umgewandelt wird. Eine zweite Art von Krisenbifurkationen, sogenannte innere Krisenbifurkationen (Interior crisis bifurcation), tragen zur Vergrößerung des Attraktors bei und werden für die ebene Poiseuille-Strömung genauer untersucht. Während der Ausgangszustand für die Bifukationskaskade im Falle des asymptotischen Ansaugprofils über einer geheizten Platte mit der Instabilität des laminaren Profils verbunden ist, haben die relevanten Zustände in der ebenen Poiseuille-Strömung keine Verbindung zum laminaren Zustand. Dies führt zu zwei koexistierenden Übergangsmechanismen zur Turbulenz. Die beiden Mechanismen sind der Bypass-Übergang und der Tollmien-Schlichting-Übergang. Die Phasenraumstruktur, die der Koexistenz dieser beiden Übergangsmechanismen zugrunde liegt, wird in dieser Arbeit untersucht. Zweidimensionale Projektionen, die exakte Lösungen nutzen, zeigen, dass es unterhalb der kritischen Reynoldszahl drei verschiedene Bereiche im Zustandsraum gibt. In einem dieser Bereiche liegt Bypass-Übergang vor, im zweiten beobachtet man ein rasches Zulaufen auf den laminaren Zustand und im dritten Bereich, welcher sehr klein ist und mit steigender Reynoldszahl wächst, kommt es zu einem Tollmien-Schlichting-Übergang. Die drei Bereiche liegen im Phasenraum teilweise sehr dicht beieinander und unterscheiden sich deutlich in der Zeit, die eine darin befindliche Anfangsbedingung benötigt um einen turbulenten Zustand zu erreichen. Oberhalb der kritischen Reynoldszahl gibt es nur noch die Bereiche mit Bypass- und Tollmien-Schlichting-Übergang, welche durch die stabile Mannigfaltigkeit einer besonderen exakten Lösung des Systems, des Bypass-Edgestates, getrennt werden. In beiden Strömungen existieren verschiedene räumlich lokalisierte exakte Lösungen. In der ebenen Poiseuille Strömung können durch Analyse der Instabilitäten räumlich ausgedehnter Tollmien-Schlichting-Wellen, periodische Bahnen gefunden werden, welche aus in Strömungsrichtung lokalisierten Paketen von Tollmien-Schlichting-Wellen bestehen. Des Weiteren kann eine in Strömungsrichtung lokalisierte, dreidimensionale, relativ periodische Bahn mittels der sogenannten Edge-Tracking Technik, die es erlaubt Trajektorien auf der Grenze zwischen laminarem und turbulentem Attraktionsgebiet zu verfolgen, gefunden werden. Die räumliche Länge dieser periodischen Bahn wächst annähernd linear mit der Reynoldszahl. Die Ergebnisse zeigen, dass die lokalisierte periodische Bahn bei hohen Reynoldszahlen in einer subkritischen, langwelligen Bifurkation einer räumlich ausgedehnten laufenden Welle erzeugt wird. Durch eine Verfolgung dieser Bahn in der Breite der simulierten numerischen Domäne kann eine relativ periodische Bahn identifiziert werden, die in beide Richtungen parallel zu den Platten lokalisiert ist. Die in Strömungsrichtung lokalisierten Zustände zeigen einen Abfall der Geschwindigkeitskomponenten, der über eine größere Distanz gut mit einem exponentiellen Abfall übereinstimmt. Die Erkenntnisse durch die doppelt-lokalisierte periodische Bahn und die Simulationen turbulenter Flecken, zeigen jedoch, dass in der ebenen Poiseuille-Strömung im großen Abstand um eine lokalisierte Struktur der Abfall der Geschwindigkeitskomponenten einem Potenzgesetz folgt. Für das asymptotische Ansaugprofil über einer geheizten Platte können verschiedene einfach- und auch doppelt-lokalisierte Fixpunkte gefunden werden. Einer der doppelt-lokalisierten Zustände wird, ähnlich wie in der ebenen Poiseuille Strömung, durch zwei parallel stattfindende, langwellige Bifurkationen einer räumlich ausgedehnten Lösung erzeugt. Studiert man die Instabilitäten der lokalisierten Lösungen, so stellt man fest, dass entlang deren instabiler Richtungen Plume-artige Dynamik auftritt. Plumes im studierten System können also als eine Bewegung entlang der instabilen Mannigfaltigkeit einer exakten Lösung interpretiert werden. Ausgehend von den exakten Lösungen ist es möglich, diese Dynamik systematisch zu studieren. Die Resultate zeigen, dass sich die Plumes über einen längeren Zeitraum mit einer konstanten Geschwindigkeit ausbreiten, wobei die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der Rayleighzahl zunimmt. Um das asymptotische Ansaugprofil über einer geheizten Platte und dessen exakte Lösungen zu studieren, wurde der Channelflow-Code (www.channelflow.org) erweitert. Der entwickelte Code ermöglicht außerdem die Simulation von Rayleigh-Bénard-, Poiseuille-Rayleigh-Bénard- und Couette-Rayleigh-Bénard-Strömung.