Semiclassical Analysis of Schrödinger Operators on Closed Manifolds and Symmetry Reduction

Sei M eine geschlossene zusammenhängende Riemann'sche Mannigfaltigkeit. Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit entwickeln wir einen Funktionalkalkül für h-abhängige Funktionen im Rahmen der semiklassischen Pseudodifferentialoperatoren. Mit Hilfe der Ergebnisse lassen sich semiklassische Spurformeln mit Restgliedabschätzungen beweisen, die gut dafür geeignet sind, Bereiche im Spektrum mit einer Breite der Ordnung h^d zu untersuchen, wobei 0 < d < 1/2. Der zweite Teil der Arbeit behandelt die Spektraltheorie und Quantenergodizität von Schrödinger-Operatoren auf M unter der Voraussetzung, dass das zugrunde liegende Hamilton'sche System gewisse Symmetrien besitzt. Genauer gesagt beweisen wir eine verallgemeinerte äquivariante Version des semiklassischen Weyl-Gesetzes mit Restgliedabschätzung unter der Annahme, dass auf M eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe G isometrisch und effektiv wirkt. Wir verwenden dazu einen Satz aus dem ersten Teil dieser Arbeit sowie kürzlich erzielte Ergebnisse zu singulären äquivarianten Asymptotiken, und leiten daraus ein äquivariantes Quantenergodizitätstheorem ab, sofern der Symmetrie-reduzierte Hamilton'sche Fluss auf dem Hauptstratum der singulären symplektischen Reduktion von M ergodisch ist. Unter anderem erhalten wir eine äquivariante Version des Shnirelman-Zelditch-Colin-de-Verdiere-Theorems, sowie einen darstellungstheoretischen Gleichverteilungssatz. In dem Fall, dass M/G eine Orbifaltigkeit ist, erzielte Kordyukov vor Kurzem ähnliche Ergebnisse. Ist G die triviale Gruppe, so erhalten wir die bekannten klassischen Resultate.