Adaptive Wavelet Methods for Inverse Problems: Acceleration Strategies, Adaptive Rothe Method and Generalized Tensor Wavelets

Allgemein kann man inverse Probleme als die Aufgabe beschreiben, aus gegebenen Daten y Rückschlüsse auf deren Ursache u zu ziehen. Dies kann als die Inversion einer nichtlinearen Operatorgleichung K(u) = y beschrieben werden, die im Allgemeinen schlecht konditioniert oder schlecht gestellt ist. Um zu einem sinnvollen Lösungsbegriff zu kommen, werden Regularisierungstechniken eingesetzt. Als Näherungslösung des inversen Problems akzeptiert man bei der sogenannten Tikhonov Regularisierung einen Minimierer v der Summe aus Datenfehler K(v)-y (in einer geeigneten Norm) und einem gewichteten zusätzlichen Strafterm F(v). Die Entwicklung von effizienten Lösungsverfahren zur Berechnung der Minimierer ist ein Feld aktueller Forschung und ein zentraler Aspekt dieser Thesis. Typischerweise kommen hier verallgemeinerte Gradientenabstiegsverfahren zum Einsatz. Für gewichtete lp-Norm Strafterme F führen diese auf iterative Soft-Shrinkage-Verfahren. Ohne zusätzliche Annahmen ist die Konvergenz üblicherweise nur für eine Teilfolge und dann auch nur gegen einen stationären Punkt gewährleistet. Über die Regularisierungseigenschaften dieses Punktes ist nur wenig bekannt. Die beobachtete Konvergenzgeschwindigkeit des klassischen Soft-Shrinkage-Verfahrens ist in der Praxis sehr gering. In jedem Iterationsschritt müssen sowohl der nichtlineare Operator K als auch die Adjungierte seiner Ableitung ausgewertet werden, was numerisch sehr aufwändig ist. Diese Thesis beschäftigt sich deshalb mit der Entwicklung von Beschleunigungsverfahren für inverse Probleme, kombiniert mit dem Einsatz und der Weiterentwicklung effizienter Verfahren für die Auswertung der auftretenden nichtlinearen Operatoren. Ein erstes Ergebnis dieser Thesis ist eine allgemeine Beschleunigungsstrategie für die Soft-Shrinkage-Iteration zur Berechnung der Lösung von inversen Problemen. Sie beruht auf einer streng monoton abfallenden Wahl für die Gewichte des Strafterms. Das neue Verfahren konvergiert linear gegen den gesuchten Minimierer v. Eine sehr wichtige Klasse von inversen Problemen stellen Parameteridentifikationsprobleme für partielle Differentialgleichungen dar. Als Prototyp für diese Problemklasse wird ein spezielles Parameteridentifikationsproblem für eine parabolische partielle Differentialgleichung betrachtet. Die auftretenden Operatoren werden analysiert, die Anwendbarkeit der Tikhonov Regularisierung sicher gestellt und die Parameter in einem vereinfachten Testproblem rekonstruiert. Zur numerischen Behandlung der parabolische Differentialgleichungen kommt die sogenannte horizontale Linienmethode, die oft auch als Rothes Methode bezeichnet wird, zum Einsatz. Hierbei wird das parabolische Gleichung als abstraktes Cauchy Problem aufgefasst und zunächst, üblicherweise implizit, in der Zeit diskretisiert. Dies wird dann mit einer Ortsdiskretisierung der resultierenden S-stufigen räumlichen Systeme kombiniert. Um zu einem effizienten numerischen Verfahren zu gelangen werden in dieser Thesis adaptive numerische Verfahren zur Lösung der Stufengleichungen betrachtet. Die Konvergenz dieser inexakten Rothe Methode wird im Detail analysiert. Insbesondere wird der Fall betrachtet das realisierbare asymptotisch optimale Diskretisierungsverfahren, die auf Wavelet Basen beruhen, zum Einsatz kommen. Es wird eine obere Schranke für die Gesamtkomplexität des Verfahrens hergeleitet. Im Detail wird das Beispiel der Wärmeleitungsgleichung betrachtet. Diese führt auf elliptische Stufengleichungen für deren Lösungen ein neues Regularitätsresultat bewiesen wird. Die Konvergenzrate von asymptotisch optimalen adaptiven Verfahren hängt üblicherweise reziprok von der Raumdimension des zu lösenden Problems ab, was auch als Fluch der Dimensionalität bezeichnet wird. Einen Ausweg bilden sogenannten Tensor-Wavelet Diskretisierungen die auf dimensionsunabhängige Raten führen. Die klassische Tensor-Wavelet Konstruktion ist auf Produktgebiete beschränkt. In dieser Thesis wird eine verallgemeinerte Tensor-Wavelet Basiskonstruktion für Sobolev Räume über einem Gebiet mit relativ allgemeiner Geometrie entwickelt. Die Konstruktion basiert auf der Anwendung von Fortsetzungsoperatoren auf passende Basen auf Teilgebieten, die eine nichtüberlappende Gebietszerlegung des Gesamtgebietes bilden. Die bestmögliche Approximation von Funktionen mittels der neuen Basis reproduziert die von klassischen Tensor-Wavelets bekannte dimensionsunabhängige Konvergenzrate. Die Regularitätsannahmen sind für die Lösung elliptischer Gleichungen der Ordnung 2m=2 über einem polygonalen oder polyhedralen Gebiet für genügend glatte rechte Seiten gewährleistet. Numerische Tests belegen, dass die theoretisch optimale Rate in der Praxis auch realisiert wird.