Numerical Methods of Optimum Experimental Design Based on a Second-Order Approximation of Confidence Regions

Der erfolgreiche Einsatz modellbasierter Simulationen und Prozess-Optimierungen von dynamischen Prozessen erfordert eine präzise Kalibrierung der zugrundeliegenden mathematischen Modelle. Eine grundlegende Schwierigkeit ist dabei die Identifikation von unbekannten und naturgegebenen Modellkoeffizienten anhand von realen Beobachtungen. Nach einer geeigneten numerischen Behandlung des Differentialgleichungssystems können diese Parameter als Lösung eines endlich dimensionalen, nichtlinearen und beschränkten Optimierungsproblems geschätzt werden. Da die Messwerte stets mit Messfehlern behaftet sind, kann die resultierende Schätzung nicht als endgültig angesehen werden und es bedarf einer Sensitivitätsanlyse, um den Einfluss der Messfehler auf die Parameterschätzung zu quantifizieren. Das Ziel der optimalen Versuchsplanung ist die Identifikation derjenigen Messzeitpunkte und experimentellen Bedingungen, welche eine Parameterschätzung mit einer maximalen statistischen Güte erlauben. Auch das Versuchsplanungsproblem kann als beschränktes Optimierungsproblem formuliert werden, dessen Zielfunktion auf einem geeigneten Gütekriterium auf Basis der Sensitivitätsanalyse des Parameterschätzproblems basiert. Zur besseren Einschätzung der statistischen Güte der Parameterschätzungen bei hochgradig nichtlinearen Modellfunktionen wird in dieser Arbeit eine quadratische Sensitivitätsanalyse entwickelt. Basis der neu eingeführten Sensitivitätsanalyse ist ein quadratisch approximiertes Konfidenzgebiet, welches eine Erweiterung der üblicherweise verwendeten linearisierten Konfidenzgebiete darstellt. Das neu definierte Konfidenzgebiet wird ausführlich analysiert und geeignete Schranken werden hergeleitet. Dabei wird gezeigt, dass exakte Schranken für die quadratischen Anteile des Konfidenzgebietes auf die Lösungen von symmetrischen Eigenwertproblemen zurückgeführt werden können. Ein weiteres grundlegendes Resultat ist, dass der quadratische Anteil im Wesentlichen durch zwei Lipschitzkonstanten beschränkt ist, welche auch die Konvergenzeigenschaften des Gauß-Newton-Verfahrens charakterisieren. Diese Schranke kann auch als Fehlerabschätzung für die Gültigkeit der linearisierten Konfidenzgebiete herangezogen werden. Zusätzlich wird eine quadratische Approximation der Kovarianzmatrix berechnet, welche eine weitere Möglichkeit zur Einschätzung der statistischen Güte von Lösungen von Parameterschätzproblemen darstellt. Auch hier werden Parameterabhängigkeiten des Modells bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt. Die guten Approximationseigenschaften der neu eingeführten Sensitivitätsanalyse werden an mehreren Beispielen demonstriert. Zur Robustifizierung der optimalen Versuchsplanung wird in dieser Arbeit eine neue Zielfunktion - das Q-Kriterium - auf Basis der eingeführten Sensitivitätsanalyse entwickelt. Neben der Spur der linearen Approximation der Kovarianzmatrix sind die bereits erwähnten Lipschitzkonstanten wesentliche Bestandteile des Q-Kriteriums. Hierbei wird insbesondere auf die numerische Berechnung bzw. eine geeignete Approximation der Lipschitzkonstanten eingegangen. Die Robustheit der neuen Zielfunktion gegenüber Unsicherheiten in den Parameterwerten wird untersucht und mit einer Worst-Case-Formulierung des Versuchsplanungsproblems unter Verwendung des A-Kriteriums verglichen. Dabei stellt sich heraus, dass die Verwendung des Q-Kriteriums die Worst-Case-Robustifizierung der optimalen Versuchsplanung unter Verwendung des A-Kriteriums bereits beinhaltet. Die Eigenschaften der neuen Zielfunktion der optimalen Versuchsplanung werden an diversen Beispielen untersucht. Hier zeigt sich insbesondere, dass bei der anschließenden Parameterschätzung die Anzahl der benötigten Gauß-Newton-Iterationsschritte deutlich reduziert werden kann. Des Weiteren werden in dieser Arbeit effiziente und numerisch stabile Berechnungsmethoden der Parameterschätzung und der optimalen Versuchsplanung für Parameterschätzprobleme mit einer Mehrfachexperimentstruktur betrachtet. Für die Parameterschätzung und Sensitivitätsanalyse werden eine parallele Berechnung der Gauß-Newton-Inkremente sowie der Kovarianzmatrix auf Basis von orthogonalen Zerlegungen vorgeschlagen. Schließlich wird für die optimale Versuchsplanung eine parallele Vorgehensweise zur Berechnung der Spur der Kovarianzmatrix bzw. deren Ableitung entwickelt.