From phenomenological modelling of anomalous diffusion through continuous-time random walks and fractional calculus to correlation analysis of complex systems

Diese Arbeit enthält einen Themenkomplex. Bei genauerer Betrachtung ergeben sich starke Zusammenhänge entweder durch physikalische Analogie, numerische Analogie oder Verwendung der gleichen Methodik oder Analyse bei unter- schiedlicher Fragestellung. Desweiteren sind auch einige Teile der vorgestellten Ergebnisse oder neuen Methoden Bausteine innerhalb von anderen. Die übergeordneten Themen sind: Anomale Diffusion, Modellierung stilisierter Fakten mittels eines random walk basierten Diffusionsmodells, Null-Hypothesentests in der Datenanalyse unter Verwendung des selbigen Diffusionsmodells und Korrelationsmatrizen ungekoppelter random walks. Es wird gezeigt, dass das Diffusionsmodell mathematisch rigoros die Zeit- und Raum-fraktionale Diffusionsgleichung löst. Letzteres ist ein neues Resultat aus der mathematischen Literatur. Mittels der vorgestellten Methode wird die Monte-Carlo-Lösung um ein Vielhundertfaches im Vergleich zu bisherigen Methoden beschleunigt. Die darauf folgende Behandlung rotationsinvarianter Zufallsfelder ist ein Baustein auf dem Weg zu Korrelationsmatrizen, die aus eben jenen random walks gewonnen werden. In diesem Zusammenhang wird ein analytisches Ergebnis aus der Literatur numerisch validiert. Innerhalb dieser Themen befindet sich ein Kapitel über die Erzeugung von Zufallszahlen. Darin werden zwei neue Methoden vorgestellt, eine davon zur schnellen Erzeugung univariater reeller Zufallszahlen mit fast beliebiger Dichte. Die Behandlung von Zufallszahlen ergibt sich aus dem Bedarf, millionenfach synthetische Diffusionsprozesse zu simulieren. Eine weitere dritte Methode aus dem Zufallszahlenbereich und ebenso neu, erzeugt rotationsinvariante Matrizen, und spart Matrixrotationen und Summationen ein. Rotationsinvariante Matrizen werden hundertfach für die obig erwähnte Validierung gebraucht. Es wird dargelegt, dass das Diffusionsmodell geeignet ist zur Modellierung empirischer Zeitreihen mit ggf. asynchronen Datenpaaren. Die random walk Prozesse sind in einer Dimension interpretierbar als synthetische Zeitreihen. Unter gewissen steuerbaren Voraussetzungen stellen diese eine Null-Hypothese dar, das heisst insbesondere hier, dass das Null-Hypothesen-Eigenwertspektrum der zugehörigen Korrelationsmatrix statistisch genau durch Mittelung über viele Realisierungen berechnet werden kann. Die zwei darauf folgenden Kapitel untersuchen den Einfluss der Wartezeiten des random walkers wie auch zwei Korrelationsschätzer, deren einer, eine neue mathematische Entwicklung, direkt auf asynchronen Datenpaaren funktioniert. Bis zum Schluss finden sich die Eigenwertspektren wieder. Ein Kapitel untersucht im Detail die Eigenschaften der Korrelationsmatrizen aus Zeitreihen wie auch der Spektren unter kontrolliert eingeführten Korrelationen. Gewisse Eigenschaften werden anscheinend bislang nicht beachtet, insbesondere in der Klassifizierung über relle Abstandsmasse. Ein Szenario sind microarray-Daten zur Aufdeckung funktioneller genetischer Gruppen. Im letzten Kapitel erweist sich das Eigenwert- und Eigenvektorspektrum ebenso nützlich in der Analyse diesmal nicht korrelierter, aber synchroner oszillatorischer Zeitreihen. Die Datenquelle sind hier elektroenzephalographische Aufnahmen aus dem Schlaflabor und die Matrix enthält Synchronisationskoeffizienten.