Exact numerical and analytical results for correlated lattice electrons in one dimension

Seit der Entdeckung der Hochtemperatur-Supraleitung in Kupratverbindungen im Jahr 1986 sind die stark korrelierten Elektronensysteme eines der wichtigsten Forschungsgebiete der theoretischen Festkörperphysik. Diese Kupratmaterialien bestehen aus stark anisotropen, quasi-zweidimensionalen Kupferoxidschichten. Daher sind niedrigdimensionale Elektronensysteme in das Zentrum der theoretischen Aufmerksamkeit ger¨uckt. Insbesondere in eindimensionalen Modellen kann man exakte analytische und numerische Ergebnisse erlangen, die ein umfassendes und tiefes Verst¨andnis der korrelierten Vielteilchensysteme erlauben. Im ersten Teil dieser Arbeit verwenden wir exakte numerische Methoden, um die Eigenschaften der Tomonaga–Luttinger Flüssigkeit zu untersuchen, welche den generischen metallischen Zustand in einer Dimension darstellt. Numerische Methoden dieser Untersuchung sind die Exakte Diagonalisierung und die Dichtematrix-Renormierungsgruppe. Insbesondere untersuchen wir, wie sich der sogenannte Tomonaga–Luttinger Exponent $K_\rho$ gewinnen läßt, durch den der kritische Exponent $\alpha$ bestimmt werden kann. Dieser Exponent beschreibt das Verhalten der lokalen Zustandsdichte an der Fermikante. Einige dieser Experimente liefern $\alpha \gtrsim 1$ bzw. $K_\rho \lesssim 0.17$, was sich nicht mit $\alpha_H \lesssim 1/8$ bzw. $K_\rho^H \geq 0.5$ im eindimensionalen Hubbard Modell vereinbaren läßt. In dieser Arbeit entwickeln wir neue numerische Zugänge, um $K_\rho$ zu bestimmen, und erklären, wie man die kleinen experimentellen Werte theoretisch durch schwache Dotierung von Ladungsdichtewelle-Isolatoren erreichen kann. Im zweiten Teil dieser Arbeit untersuchen wir das Hubbard Modell mit dem analytisch exakten Thermodynamischen Bethe Ansatz in einem Parameterbereich, der die Bewegung von Ladungen in einem ungeordnetem Spinhintergrund beschreibt. Die Temperatur muß dazu groß sein im Vergleich zu der charakteristischen Energieskala für magnetische Anregungen und zugleich klein gegenüber der Mott-Lücke. Diese Untersuchung wird durch die bestehende Kontroverse über den Mott–Hubbard Übergang in unendlichen Dimensionen motiviert, wo der Grundzustand ebenfalls Spinunordnung aufweist. Die kritische Wechselwirkung $U_c$, bei der sich die Mott–Hubbard Lücke schließt, ist bis heute nicht zuverlässig bekannt. Es ist daher eine Aufgabe dieser Arbeit, ein Beispiel für ein spinungeordnetes Hubbard Modell zu untersuchen, das exakt gelöst werden kann. Die thermodynamischen Eigenschaften dieses Modells werden durch Ladungsanregungen beschrieben, die eine effektive Dispersion und eine endliche Lücke aufweisen. Diese Anregungen sind von den Spinfreiheitsgraden entkoppelt, die ihrerseits nur einen entropischen Beitrag zur Thermodynamik des Systems liefern. Dieses Szenario läßt sich durch ein hypothetisches wechselwirkendes Elektronensystem am Temperatur-Nullpunkt interpretieren, bei dem der Metall–Isolator Übergang bei endlicher Wechselwirkungsstärke erfolgt, oberhalb derer sich die Lücke linear öffnet. Unsere exakten Resultate weisen darauf hin, daß eine Entwicklung der Grundzustandsenergie bei starker Kopplung nicht geeignet ist, um $U_c$ zu bestimmen. Verwendet man hingegen eine Entwicklung der Einteilchenlücke, so erhält man eine gute Extrapolation für die kritische Kopplung.