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Titel:Polytopale Konstruktionen in der Algebra
Autor:Soll, Daniel
Weitere Beteiligte: Welker, Volkmar (Prof. Dr.)
Veröffentlicht:2006
URI:https://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2006/0137
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2006-01374
DOI: https://doi.org/10.17192/z2006.0137
DDC: Mathematik
Titel(trans.):Polytopal Constructions in Algebraic Settings
Publikationsdatum:2006-08-16
Lizenz:https://rightsstatements.org/vocab/InC-NC/1.0/

Dokument

Schlagwörter:
Konvexes Polytop, Gr?r-Basis, Determinantielles Ideal, Triangulierung, Generalized triangulation, Determinantal ideal, Typ-B Triangulierung, Monomiales Ideal, Symmetrische verallgemeinerte Triangulierung

Zusammenfassung:
Die zentralen Objekte dieser Arbeit sind einerseits Ideale in einem Polynomring mehrerer Veränderlicher und andererseits simpliziale Komplexe. Klassische Invarianten der Ideale sind die minimalen freien Auflösungen, deren Betti-Zahlen, ihre Hilbert-Reihe und die Krull-Dimension, die der simplizialen Komplexe sind der $f$- bzw. der $h$-Vektor sowie die Dimension. Aus der Theorie der Stanley-Reisner-Ringe sind eine Vielzahl von Zusammenhängen zwischen den Invarianten monomialer Ideale und simplizialer Komplexe bekannt. Diese Arbeit liefert neue Ansätze für Zusammenhänge zwischen Invarianten von Gorenstein-Idealen und simplizialen Komplexen, insbesondere zwischen determinantiellen Idealen und dem simplizialen Komplex der symmetrischen verallgemeinerten Triangulierungen.

Summary:
For $n\geq 3$, let $\Omega_n$ be the set of line segments between the vertices of a convex $n$-gon. For $j\geq 2$, a $j$-crossing is a set of $j$ line segments pairwise intersecting in the relative interior of the $n$-gon. For $k\geq 1$, let $\Delta_{n,k}$ be the simplicial complex of (type-A) generalized triangulations, i.e. the simplicial complex of subsets of $\Omega_n$ not containing any $(k+1)$-crossing. The complex $\Delta_{n,k}$ has been the central object of numerous papers. Here we continue this work by considering the complex of type-B generalized triangulations. For this we identify line-segments in $\Omega_{2n}$ which can be transformed into each other by a $180^\circ$-rotation of the $2n$-gon. Let $\F_n$ be the set $\Omega_{2n}$ after identification, then the complex $\D_{n,k}$ of type-B generalized triangulations is the simplicial complex of subsets of $\F_n$ not containing any $(k+1)$-crossing in the above sense. For $k = 1$, we have that $\D_{n,1}$ is the simplicial complex of type-B triangulations of the $2n$-gon as defined in \cite{Si} and decomposes into a join of an $(n-1)$-simplex and the boundary of the $n$-dimensional cyclohedron. We demonstrate that $\D_{n,k}$ is a pure, $k(n-k)-1+kn$ dimensional complex that decomposes into a $kn-1$-simplex and a $k(n-k)-1$ dimensional homology sphere. For $k=n-2$ we show that this homology-sphere is in fact the boundary of a cyclic polytope. We provide a lower and an upper bound for the number of maximal faces of $\D_{n,k}$. On the algebraical side we give a term-order on the monomials in the variables $X_{ij}, 1\leq i,j\leq n$, such that the corresponding initial ideal of the determinantal ideal generated by the $(k+1)$ times $(k+1)$ minors of the generic $n \times n$ matrix contains the Stanley-Reisner ideal of $\D_{n,k}$. We show that the minors form a Gr\"obner-Basis whenever $k\in\{1,n-2,n-1\}$ thereby proving the equality of both ideals and the unimodality of the $h$-vector of the determinantal ideal in these cases. We conjecture this result to be true for all values of $k<n$.


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