Seshadri-Kostanten auf abelschen Flächen

Christoph Schulz, Seshadri-Konstanten auf abelschen Flächen, Zusammenfassung: Gegenstand dieser Arbeit sind Seshadri-Konstanten von amplen Geradenbündeln auf glatten projektiven komplexen Varietäten. Zu einem amplen Geradenbündel L und einem Punkt x definiert man die Seshadri-Konstante dur...

Ausführliche Beschreibung

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser: Schulz, Christoph
Beteiligte: Bauer, Thomas (Prof. Dr.) (BetreuerIn (Doktorarbeit))
Format: Dissertation
Sprache:Deutsch
Veröffentlicht: Philipps-Universität Marburg 2004
Reine und Angewandte Mathematik
Schlagworte:
Online Zugang:PDF-Volltext
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Beschreibung
Zusammenfassung:Christoph Schulz, Seshadri-Konstanten auf abelschen Flächen, Zusammenfassung: Gegenstand dieser Arbeit sind Seshadri-Konstanten von amplen Geradenbündeln auf glatten projektiven komplexen Varietäten. Zu einem amplen Geradenbündel L und einem Punkt x definiert man die Seshadri-Konstante durch das Supremum der positiven Zahlen e, sodass das Bündel f*L-eE noch nef ist über der Aufblasung der Varietät in x mit exzeptionellem Divisor E. Auf diese Weise wird ein Maß für die 'lokale' Positivität von L definiert. Eine explizite Berechnung von Seshadri-Konstanten ist im Allgemeinen recht schwierig und nur unter Zuhilfenahme spezieller geometrischer Eigenschaften der Varietät möglich. Ziel der Arbeit ist es, explizite Methoden für die Berechnung von Seshadri-Konstanten auf abelschen Flächen zusammenzutragen. Neben den Methoden für beliebige komplexe projektive Varietäten aus Kapitel 1 werden in Kapitel 2 und 3 spezielle Methoden für abelsche Flächen entwickelt. Hier werden einige bekannte Resultate dargestellt und im Anschluss eigene Berechnungen präsentiert. Die zentralen neuen Ergebnisse finden sich in Kapitel 3, hier werden Seshadri-Konstanten auf den folgenden Produkten zweier elliptischer Kurven betrachtet: (1) das Produkt von zwei nicht isogenen elliptischen Kurven, (2) das Produkt einer elliptischen Kurve ohne komplexe Multiplikation mit sich selbst, (3) das Produkt spezieller elliptischer Kurven mit komplexer Multiplikation mit sich selbst. Es gelingt, die Seshadri-Konstanten aller Geradenbündel explizit zu berechnen, wobei mit (2) und (3) die ersten Ergebnisse für abelsche Flächen mit Picard-Zahl 3 und 4 erzielt werden. Hierbei zeigt es sich, dass die elliptischen Kurven auf den untersuchten Flächen eine besondere Rolle spielen. Daher wird eine Parametrisierung der numerischen Äquivalenzklassen der elliptischen Kurven angegeben, mittels derer sich durch zahlentheoretische Überlegungen submaximale elliptische Kurven finden lassen, die für die Berechnung der Seshadri-Konstanten von Bedeutung sind. Es werden explizite Formeln zur Berechnung der Seshadri-Konstanten anhand der numerischen Äquivalenzklasse eines Geradenbündels angegeben und das Verhalten der Seshadri-Funktion auf dem Nef-Kegel untersucht. Nach einer Einleitung werden im ersten Kapitel grundlegende Begriffe, wie Seshadri-Konstanten, Submaximalität und abelsche Flächen erläutert. Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit Seshadri-Konstanten auf abelschen Flächen. Hier werden neben allgemeinen Ergebnissen und Abschätzungen auch erste Ergebnisse für die Berechnung der Seshadri-Konstanten auf einfachen abelschen Flächen dargestellt, insbesondere das Resultat von Thomas Bauer über abelsche Flächen mit Picard-Zahl 1. Das dritte Kapitel ist der expliziten Berechnung der Seshadri-Konstanten auf nichteinfachen abelschen Flächen gewidmet. Es gelingt hier insbesondere die Berechnung der Seshadri-Konstanten auf Kreuzprodukten zweier elliptischer Kurven.
DOI:https://doi.org/10.17192/z2004.0394