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Zusammenfassung:
Die Möglichkeit, Aussagen ein für allemal beweisen zu können, ist ein Alleinstellungsmerkmal, das der Mathematik vorbehalten ist. Die Sätze, die Euklid von Alexandria (um 300 v. Chr.) vor über 2000 Jahren in seinen „Elementen“ bewies, gelten noch heute – und sie werden auch in 2000 Jahren noch gelten. Das Entdecken und Hervorbringen unumstößlicher Wahrheiten ist das Charakteristikum der Mathematik, und „Beweisen“ ist einer ihrer Zentralbegriffe. Doch dessen angemessene unterrichtliche Umsetzung stellt eines der mathematikdidaktischen Zentralprobleme dar, weil meist eine Vielzahl formal-deduktiver Beweise die Entdeckung des Beweisprozesses von Beginn an und systematisch verhindert, weil in den fertigen Beweisprodukten die dem Beweisprozess zugrundeliegenden, fundamentalen Leitideen nicht mehr erkennbar sind. So entsteht eine paradoxe Situation: Das Charakteristikum der Wissenschaft Mathematik führt im Unterricht ein Schattendasein, und ein Ausweg scheint nicht in Sicht. Die vorliegende Arbeit möchte mit den Mitteln der Lehrkunstdidaktik (nach Berg/Schulze/Wildhirt u.a.) Entscheidendes zur Lösung dieses Zentralproblems beitragen. Die Lehrkunstdidaktik unternimmt es, ästhetisch faszinierende und philosophisch tiefgründige Unterrichtsexempel zu Errungenschaften, Durchbrüchen und Leitlinien der europäischen Kulturen ernsthaft, tiefgehend und mit Muße in den Unterricht sämtlicher Fächer zu bringen – Lehrstücke heißen die resultierenden Unterrichtseinheiten. Es ist die bildungspolitische und didaktische Aktualität der Lehrkunstdidaktik, welche sie hier zu einem vielversprechenden Partner bei der Lösung des Problems werden lässt: Schon seit einigen Jahren setzt die Lehrkunstdidaktik durch die Entwicklung von Lehrstücken genau das erfolgreich um, was vor allem in jüngster Zeit durch den von PISA 2003 eingeleiteten Umschwung zur Output-Orientierung zunehmend notwendig zu werden scheint: ein Neuansatz der Input-Orientierung. Denn statt dem zumeist herrschenden Entweder-oder sollte doch eher ein Sowohl-als-auch dominieren. Input und Output – beides! Im ersten Teil der Arbeit wird der Frage nachgegangen, wie sich das Beweisen ausgehend von Euklid von Alexandria bis in die Gegenwart entwickelt hat und inwieweit diese Entwicklung in der Mathematikdidaktik berücksichtigt wird. Darüber hinaus wird, ausgehend von Martin Wagenscheins genetisch-sokratisch-exemplarischem Lehren („Verstehen lehren“, 1968) und Wolfgang Klafkis „Theorie der Kategorialen Bildung“ (1959) – inzwischen sind beide als Klassiker der Pädagogik anerkannt – das Konzept der Lehrkunstdidaktik historisch entwickelt und ausführlich dargestellt. Im zweiten Teil werden drei Exempel Martin Wagenscheins – Entdeckung der Axiomatik am Sechsstern, Satz des Pythagoras, Nichtabbrechen der Primzahlfolge – zu Lehrstücken weiterentwickelt, mehrfach unterrichtet, reflektiert, ausgewertet und interpretiert. Dabei wird die Entwicklung didaktischer Werke in einem kumulativen Optimierungsprozess besonders deutlich. Eine komprimierte Fassung der drei Lehrstücke findet sich im MU-Schwerpunktheft „Lehrkunstdidaktik“ (MU – der Mathematikunterricht, Friedrich-Verlag, Heft 6/2013). Im dritten Teil werden die Ergebnisse zusammengefasst und ausgewertet. Dabei stellt sich heraus, dass die drei Lehrstücke zum Beweisen jeweils den individualgenetischen Mitvollzug einer kulturgenetischen Leistung ermöglichen, was das Wesen des Bildungsprozesses im Sinne Klafkis und Heymanns („Allgemeinbildung und Mathematik“, 1996/2013) darstellt. Darüber hinaus zeigt sich, dass formal-deduktives Beweisen immer nur Ziel des schulischen Mathematikunterrichts sein und über die Vorstufen eines alltagsnahen bzw. mathematischen Argumentierens erreicht werden kann (vgl. Brunner 2013). Und nicht zuletzt belegen die rund ein Dutzend Mal unterrichteten Lehrstücke, dass Beweisen (Prozess) und Beweise (Produkt) nicht von einander zu trennen sind und dass insgesamt eine tiefgründige, spiralförmige Behandlung der Thematik im Unterricht möglich ist. Beweisen kann und sollte eine Leitidee des Mathematikunterrichts im Sinne Heymanns sein, weshalb die Bildungsstandards Mathematik (2003 und 2012) diesbzgl. unbedingt zu ergänzen sind.

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14. Sokrates: Aus der doppelt so großen Seite also, mein Junge, ergibt sich nicht ein doppelt so großes, sondern ein viermal so großes Viereck? Sklave: Ganz richtig.
15. Sokrates: Aus dieser also, behauptest du, werde die achtfußige Figur hervorgehen, wenn nämlich die vier Seiten gleich lang gemacht werden? Sklave: Ja.
16. Sokrates: Aus welcher denn? Versuche es uns genau zu sagen! Und wenn du es nicht in Zahlen ausdrücken willst, so deute nur hin, aus welcher! Sklave: Aber beim Zeus, Sokrates, ich weiß es nicht.
17. Sokrates: Aus welcher Linie aber entsteht nun das achtfußige Viereck? – Also nicht wahr, aus dieser da entsteht das viermal so große? Sklave: Ich gebe es zu.
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108. Beltz. Weinheim und Basel. [Erstausgabe: 1968] WAGENSCHEIN, MARTIN ( 4 2009): Naturphänomene sehen und verstehen. Genetische Lehrgän- ‐ ge. Das Wagenschein- ‐Studienbuch. Herausgegeben von Hans Christoph Berg. Band 4 der Reihe " Lehrkunstdidaktik " . hep- ‐Verlag. Bern.
109. WAGENSCHEIN, MARTIN ( 4 1967): Natur physikalisch gesehen. Zum Prinzip des " Exemplari- ‐ schen Lehrens " im physikalischen Schulunterricht aller Schularten. Verlag Moritz Dies- ‐ terweg. Frankfurt/Main. [Erstausgabe: 1953] WAGENSCHEIN, MARTIN (1968): Erwiderung auf W. Kroebels Kritik an meinen Vorschlägen zum Physikunterricht. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht. 21. Band. Heft 11. S. 374- ‐378.
110. GASSER, PETER ( 3 2008): Neue Lernkultur. Eine integrative Didaktik. Cornelsen Sauerländer. Berlin und Oberentfelden. Literaturverzeichnis 287
111. KLAFKI, WOLFGANG (1985/ 6 2007): Neue Studien zur Bildungstheorie und Didaktik. Zeitge- ‐ mäße Allgemeinbildung und kritisch- ‐konstruktive Didaktik. Beltz. Weinheim und Basel.
112. Sokrates: Nun ja, wenn sie drei Fuß haben soll, so wollen wir noch von dieser die Hälfte hinzunehmen, so wird sie drei Fuß haben. Denn dies sind zwei Fuß und dies einer. Und von dieser Seite ebenso, dies zwei und dies einer. Und dieses wird nun die Figur sein, die du meinst.
113. EYER, MARC; AESCHLIMANN, UELI (2013): Pascals Barometer frei nach Martin Wagenschein. " Also ist es wirklich wahr? " . Band 8 der Reihe " Lehrkunstdidaktik " . hep Verlag. Bern.
114. PRONDCZYNSKY, ALEXANDER VON (1993): Pädagogik und Poiesis. Eine verdrängte Dimension des Theorie- ‐Praxis- ‐Verhältnisses. Leske + Budrich. Opladen.
115. RUSSEL, BERTRAND ( 2 2009): Philosophie des Abendlandes. Ihr Zusammenhang mit der politi- ‐ schen und der sozialen Entwicklung. Europa Verlag. Zürich. [Original: A History of Wes- ‐ tern Philosophy, 1945] SCHERNIKAU, HEINZ (2009): Tiefensee – ein Schulmodell aus dem Geist der deutschen Klassik: Reformpädagogik am Beispiel Adolf Reichweins im geistes- ‐ und gesellschaftsgeschichtli- ‐ chen Grundriss. Beltz Verlag. Weinheim und Basel.
116. AEBLI, HANS (1963): Psychologische Didaktik. Didaktische Auswertung der Psychologie von Jean Piaget, Ernst Klett Verlag. Stuttgart. [Original: Didactique psychologique. Applica- ‐ tion à la didactique de la psychologie de Jean Piaget, 1951]
117. BAARS, GÜNTER (2011): Quantenchemie farbiger Stoffe mit Heisenberg und Einstein. Band 6 der Reihe " Lehrkunstdidaktik " . hep Verlag. Bern.
118. OPAŁKA, ROMAN (2006): Roman Opałka – Octogone. Museé d'Art Moderne. Saint- ‐Etienne.
119. STERN, ELSBETH; HARDY, ILONCA (2002): Schulleistungen im Bereich der mathematischen Bil- ‐ dung. In: Weinert (Hrsg.) ( 2 2002b), S. 153- ‐168.
120. Sokrates: Sind nun nicht in dieser Figur vier Vierecke, von denen jedes dem vier Fuß haltenden gleich ist? Sklave: Ja.
121. BENTLEY, WILSON ALWYN (2000): Snowflakes in Photographs. Dover Publications. Mineola, New York. [Erstausgabe dieser Edition: 1931. Original: Snow crystals, 1898].
122. Sokrates: Also auch aus der dreifußigen Linie entsteht die achtfußige Figur noch nicht.
123. Sokrates: Also ergibt sich eine Figur von zweimal zwei Fuß? Sklave: Ja.
124. Sokrates: Da es nun aber auch hier zwei Fuß sind, macht es dann nicht notwendig zweimal zwei Fuß? Sklave: Doch.
125. Sokrates: Denn viermal vier gibt sechzehn. Nicht wahr? Sklave: Ja.
126. Sokrates: Die doppelt so große Figur aber sollte wieviel Fuß halten? Sklave: Acht.
127. Sokrates: Dreimal drei Fuß aber macht wieviel? Sklave: Neun.
128. Sokrates: Entstehen nun nicht so diese vier gleichen Linien, welche diese Figuren da einschließen? Sklave: Ja.
129. Sokrates: Es ist also eine viereckige Figur, welche alle diese Seiten, deren es vier sind, gleich hat? Sklave: Allerdings.
130. Sokrates: Es muß also die Linie der achtfußigen Figur größer sein als diese zwei Fuß lange, aber kleiner als die vier Fuß lange? Sklave: Notwendig.
131. Sokrates: Für uns aber hätte es sollen nur zweimal so groß werden. Oder erinnerst du dich nicht? Sklave: Allerdings.
132. Sokrates: Gut! Das acht Fuß haltende aber ist nun doppelt so groß wie dieses, und halb so groß wie jenes? Sklave: Allerdings.
133. Sokrates: Hat nicht von diesen Vierecken, deren es vier sind, diese Linie jedesmal die Hälfte innen abgeschnitten? Oder nicht? Sklave: Ja.
134. Sokrates: Hat sie nicht auch diese durch die Mitte gezogenen Linien gleich? Sklave: Ja.
135. Sokrates: Ist nun das viermal so große das doppelt so große? Sklave: Nein, beim Zeus! Sokrates: Sondern das wievielfache? Sklave: Das Vierfache.
136. Sokrates: Können wir nicht zur Vervollständigung auch noch hier in den Winkel eine zeichnen? Sklave: Ganz wohl.
137. Sokrates: Nicht wahr, eine solche Figur könnte doch wohl auch größer oder kleiner sein? Sklave: Allerdings.
138. Sokrates: Sag' mir doch, Junge, weißt du, was ein Viereck ist? Eine Figur wie diese? Sklave: Ja.
139. Sokrates: Schön! Antworte nur immer, was dir dünkt! – Und nun sage mir: War nicht diese Linie zwei Fuß lang, und diese vier? Sklave: Ja.
140. Sokrates: Und nun sieh einmal, wie groß wohl diese Figur ist? Sklave: Ich weiß es nicht.
141. Sokrates: Was ist aber vier gegen zwei? Sklave: Doppelt so groß.
142. Sokrates: Werden damit nun nicht genau vier gleiche Figuren hier entstehen? Sklave: Ja.
143. Sokrates: Wie groß wird es also sein? Nicht wahr, viermal so groß? Sklave: Wie anders?
144. Sokrates: Wie viele aber in dieser? Sklave: Zwei.
145. Sokrates: Wie viele Fuß ergeben sich also nun für diese Figur? Sklave: Acht Fuß.
146. Sokrates: Wie viele solche Hälften sind nun in dieser Figur enthalten? Sklave: Vier.
147. Sokrates: Wie viel sind nun diese zweimal zwei Fuß? Rechne einmal und sage es! Sklave: Vier, Sokrates.
148. Sokrates: Wohlan, versuche es mir nun zu sagen: wie groß wird jede Seite dieser zweiten Figur sein? Im ersten Viereck hat jede zwei Fuß; wie viel hat nun jede in diesem, das doppelt so groß ist? Sklave: Offenbar, Sokrates, das Doppelte. […]
149. RÉNYI, ALFRÉD (1966): Sokratischer Dialog. In: Neue Sammlung. Göttinger Blätter für Kultur und Erziehung. 6. Jahrgang. Vandenhock & Ruprecht. Göttingen. S. 284- ‐304.
150. DUVAL, RAYMOND (1991): Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la dé- ‐ monstration. In: Educational Studies in Mathematics, Volume 22, Heft 3, S. 233- ‐261.
151. BALANCHEFF, NICHOLAS (1991): The Benefits and limits of social interaction: The case of teaching mathematical proof. In: Bishop, Alan J.; Mellin- ‐Olsen, Stieg; Van Dormolen, Joop (Hrsg.): Mathematical knowledge: Ist growth through teaching. Kluwer Academic Publishers. Dodrecht. S. 175- ‐192.
152. BLANKERTZ, HERWIG ( 12 2006): Theorien und Modell der Didaktik. Juventa. Weinheim. [Erst- ‐ ausgabe: 1970]
153. LOOMIS, ELISHA SCOTT ( 2 1940): The Pythagorean Proposition. The National Council of Tea- ‐ chers of Mathematics. Reston. Virginia. [Nachdruck: 1968, Erstausgabe: 1927]
154. Sokrates: Und noch eine dritte hier, welche jeder von diesen beiden gleich ist? Sklave: Ja.
155. Sokrates: Und nun? Das Ganze da, wievielmal so groß wird es sein als diese da? Sklave: Viermal so groß.
156. Sokrates: Und von welcher Linie aus? Sklave: Von dieser.
157. Sokrates: Und wie viel Fuß wird sie haben? Sklave: Acht.
158. SCHMIDLIN, STEPHAN (Hrsg.) (2012): Unsere Abend- ‐Zeitung. Band 7 der Reihe " Lehrkunstdi- ‐ daktik " . hep- ‐Verlag. Bern.
159. WAGENSCHEIN, MARTIN (1965a): Ursprüngliches Verstehen und Exaktes Denken. Band I. Ernst Klett Verlag. Stuttgart.
160. GRUSCHKA, ANDREAS (2011b): Verstehen lehren. Ein Plädoyer für guten Unterricht. Reclam. Stuttgart.
161. Sokrates: Versuche mir nun zu sagen, wie groß du wohl meinst, dass sie sei? Sklave: Drei Fuß.
162. PETRIK, ANDREAS ( 2 2013): Von den Schwierigkeiten, ein politischer Mensch zu werden. Kon- ‐ zept und Praxis einer genetischen Politikdidaktik. Budrich- ‐Verlag. Opladen. (Erstaus- ‐ gabe: 2007)
163. FRIEDRICH- ‐RAABE, SIMON (2004): Wagenscheins Sechs- ‐Stern. Erprobung von Wagenscheins genetisch- ‐sokratsich- ‐exemplarischem Ansatz in der Jahrgangsstufe 7. Pädagogische Prüfungsarbeit im Fach Mathematik. Marburg.
164. NÖLLE, BEATE E. (2007): Wagenschein und Lehrkunst in mathematischen Exempeln. Entwick- ‐ lung, Erprobung und Analyse dreier Lehrstücke für den Geometrieunterricht. Franzbe- ‐ cker. Hildesheim.
165. BRÜNGGER, HANS (2008): Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Pascal. Band 5 der Reihe " Lehr- ‐ kunstdidaktik " . hep Verlag. Bern.
166. WAGENSCHEIN, MARTIN (1970b): Was bedeutet naturwissenschaftlichen Allgemeinbildung? In: Ders. (1970a), S. 119- ‐135.
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168. KLAFKI, WOLFGANG; BRAUN, KARL- ‐HEINZ (2007): Wege pädagogischen Denkens. Ein autobio- ‐ grafischer und erziehungswissenschaftlicher Dialog. Ernst Reinhardt Verlag. München.
169. MEIER, PETER; STEUDING, JÖRN (2008): " Wer die Zetafunktion kennt, kennt die Welt " . In: Spektrum der Wissenschaft, Ausgabe 9/2008. S. 86- ‐93.
170. FREUDENTHAL, HANS (1973): What groups mean in mathematics and what they should mean in mathematical education. In: Development in Mathematical Education. Cambridge University Press. S. 101- ‐114.
171. Sokrates: Wird es also nicht aus einer Linie entstehen, die größer ist als die da, und kleiner als die dort? Oder nicht? Sklave: Ich denke wohl.
172. Sokrates: Wird nun aber, wenn die ganze Figur hier drei und hier drei Fuß hat, wird sie da nicht dreimal drei Fuß halten? Sklave: Offenbar.
173. Sokrates: Wird nun nicht diese Linie, die man von einem Winkel zum andern zieht, jedes von diesen Vierecken in zwei Hälften schneiden? Sklave: Ja.
174. Sokrates: Wird nun nicht diese Seite noch einmal so groß wie zuvor, wenn wir ihr eine zweite von eben solcher Länge anfügen? Sklave: Gewiss.
175. MEYER, MEINERT A.; MEYER, HILBERT (2007): Wolfgang Klafki. Eine Didaktik für das 21. Jahr- ‐ hundert? Beltz Verlag. Weinheim und Basel.
176. ZIERER, KLAUS; SAALFRANK, WOLF- ‐THORSTEN (Hrsg.) (2010): Zeitgemäße Klassiker der Päda- ‐ gogik. Leben – Werk – Wirken. Ferdinand Schöningh. Paderborn. Missachtung der griechischen Götter zum Tode durch den Schierlingsbecher verurteilt.
177. LEMMERMEYER, FRANZ (2008): Zur Zahlentheorie bei den Griechen. In: Mathematische Se- ‐ mesterberichte 55, Springer. Heidelberg. S. 181- ‐195.
178. WEINERT, FRANZ EMANUEL (2002a): Vergleichende Leistungsmessung in Schulen – eine um- ‐ strittene Selbstverständlichkeit. In: Ders. (Hrsg.) ( 2 2002b), S. 17- ‐31.
179. HAECKEL, ERNST ( 3 2009): Kunstformen der Natur. Hundert Illustrationstafeln mit beschriebenem Text, allgemeine Erläuterung und systematische Übersicht. marixverlag. Wiesbaden. [Erstausgabe: 1899]
180. HENTIG, HARTMUT VON (1969): Allgemeine Lernziele. In: Deutscher Bildungsrat: Lernziele der Gesamtschule, Gutachten und Studien der Bildungskommission. Band 12. Klett. Stuttgart.
181. BMBF (Bundesministerium für Bildung und Forschung; Hrsg.) (2007): Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards. Eine Expertise. Bonn. Online- ‐Ressource: http://www.bmbf.de/pub/zur_entwicklung_nationaler_bildungsstandards.pdf (Download: 10.10.2012)
182. KMK (SEKRETARIAT DER STÄNDIGEN KONFERENZ DER KULTUSMINISTER DER LÄNDER IN DER BUN- ‐ DESREPUBLIK DEUTSCHLAND) (Hrsg.) (2012): Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgmeine Hochschulreife. Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 18.10.2012. Online- ‐Ressource: http://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18 - ‐Bildungsstandards- ‐Mathe- ‐Abi.pdf (Download: 22.01.2014)
183. DIESTERWEG, FRIEDRICH ADOLPH WILHELM ( 4 1957): Wegweiser zur Bildung für deutsche Lehrer. Besorgt von Julius Scheveling. Schöningh. Paderborn. [Erstausgabe: 1834]
184. LINDEMANN, FRIEDRICH VON (1882): Über die Zahl π. In: Mathematische Annalen, XX. Band. Herausgegeben von Felix Kein und Adolph Meyer. B.G. Teubner. Leipzig. S. 213- ‐225.
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186. HEYMANN, HANS WERNER ( 2 2013): Allgemeinbildung und Mathematik. Beltz Verlag. Wein- ‐ heim und Basel. [Erstausgabe: 1996]

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