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Titel: Beweisen verstehen. Bildung durch Lehrkunst im Mathematikunterricht. Komposition, Inszenierung und Interpretation dreier Lehrstücke frei nach Wagenscheins Euklid-Exempeln: Entdeckung der Axiomatik am Sechsstern, Satz des Pythagoras, Nichtabbrechen der Primzahlfolge. Ein Beitrag zur Allgemeinen Didaktik aus fachdidaktischer Perspektive.
Autor: Gerwig, Mario
Weitere Beteiligte: Berg, Hans Christoph (Prof. Dr., Dipl. Psych.)
Veröffentlicht: 2014
URI: https://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2014/0383
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2014-03832
DOI: https://doi.org/10.17192/z2014.0383
DDC: Erziehung, Schul- und Bildungswesen
Titel(trans.): Understanding the Proof Process. Education by means of the “Art of Teaching” (Lehrkunst) in Mathematics Lessons. Composition, Staging and Interpretation of three “Staging Lessons” (Lehrstücke) based on Wagenschein’s Euclid Examples: Discovery of the Axiomatic Method in the Hexagram, Pythagoras’ Theorem, Non-Cessation of the Prime Number Progression. A Contribution to the General Didactics from a Subject Didactics’ Perspective.
Publikationsdatum: 2014-09-25
Lizenz: https://rightsstatements.org/vocab/InC-NC/1.0/

Dokument

Schlagwörter:
Leitideen des Mathematikunterrichts, Mathematikdidaktik, Leitidee, guiding principles of mathematics lessons, to prove and to argument, “Lehrkunst” didactics, Klafki, Wolfgang, Euclides, Wagenschein, Martin, education, Allgemeine Didaktik, Beweis, Lehrkunstdidaktik, Lehrstück, didactics of mathematics, Euklid, Mathematikunterricht, Kategoriale Bildung, Euclides, Beweisen und Argumentieren, Bildung

Zusammenfassung:
Die Möglichkeit, Aussagen ein für allemal beweisen zu können, ist ein Alleinstellungsmerkmal, das der Mathematik vorbehalten ist. Die Sätze, die Euklid von Alexandria (um 300 v. Chr.) vor über 2000 Jahren in seinen „Elementen“ bewies, gelten noch heute – und sie werden auch in 2000 Jahren noch gelten. Das Entdecken und Hervorbringen unumstößlicher Wahrheiten ist das Charakteristikum der Mathematik, und „Beweisen“ ist einer ihrer Zentralbegriffe. Doch dessen angemessene unterrichtliche Umsetzung stellt eines der mathematikdidaktischen Zentralprobleme dar, weil meist eine Vielzahl formal-deduktiver Beweise die Entdeckung des Beweisprozesses von Beginn an und systematisch verhindert, weil in den fertigen Beweisprodukten die dem Beweisprozess zugrundeliegenden, fundamentalen Leitideen nicht mehr erkennbar sind. So entsteht eine paradoxe Situation: Das Charakteristikum der Wissenschaft Mathematik führt im Unterricht ein Schattendasein, und ein Ausweg scheint nicht in Sicht. Die vorliegende Arbeit möchte mit den Mitteln der Lehrkunstdidaktik (nach Berg/Schulze/Wildhirt u.a.) Entscheidendes zur Lösung dieses Zentralproblems beitragen. Die Lehrkunstdidaktik unternimmt es, ästhetisch faszinierende und philosophisch tiefgründige Unterrichtsexempel zu Errungenschaften, Durchbrüchen und Leitlinien der europäischen Kulturen ernsthaft, tiefgehend und mit Muße in den Unterricht sämtlicher Fächer zu bringen – Lehrstücke heißen die resultierenden Unterrichtseinheiten. Es ist die bildungspolitische und didaktische Aktualität der Lehrkunstdidaktik, welche sie hier zu einem vielversprechenden Partner bei der Lösung des Problems werden lässt: Schon seit einigen Jahren setzt die Lehrkunstdidaktik durch die Entwicklung von Lehrstücken genau das erfolgreich um, was vor allem in jüngster Zeit durch den von PISA 2003 eingeleiteten Umschwung zur Output-Orientierung zunehmend notwendig zu werden scheint: ein Neuansatz der Input-Orientierung. Denn statt dem zumeist herrschenden Entweder-oder sollte doch eher ein Sowohl-als-auch dominieren. Input und Output – beides! Im ersten Teil der Arbeit wird der Frage nachgegangen, wie sich das Beweisen ausgehend von Euklid von Alexandria bis in die Gegenwart entwickelt hat und inwieweit diese Entwicklung in der Mathematikdidaktik berücksichtigt wird. Darüber hinaus wird, ausgehend von Martin Wagenscheins genetisch-sokratisch-exemplarischem Lehren („Verstehen lehren“, 1968) und Wolfgang Klafkis „Theorie der Kategorialen Bildung“ (1959) – inzwischen sind beide als Klassiker der Pädagogik anerkannt – das Konzept der Lehrkunstdidaktik historisch entwickelt und ausführlich dargestellt. Im zweiten Teil werden drei Exempel Martin Wagenscheins – Entdeckung der Axiomatik am Sechsstern, Satz des Pythagoras, Nichtabbrechen der Primzahlfolge – zu Lehrstücken weiterentwickelt, mehrfach unterrichtet, reflektiert, ausgewertet und interpretiert. Dabei wird die Entwicklung didaktischer Werke in einem kumulativen Optimierungsprozess besonders deutlich. Eine komprimierte Fassung der drei Lehrstücke findet sich im MU-Schwerpunktheft „Lehrkunstdidaktik“ (MU – der Mathematikunterricht, Friedrich-Verlag, Heft 6/2013). Im dritten Teil werden die Ergebnisse zusammengefasst und ausgewertet. Dabei stellt sich heraus, dass die drei Lehrstücke zum Beweisen jeweils den individualgenetischen Mitvollzug einer kulturgenetischen Leistung ermöglichen, was das Wesen des Bildungsprozesses im Sinne Klafkis und Heymanns („Allgemeinbildung und Mathematik“, 1996/2013) darstellt. Darüber hinaus zeigt sich, dass formal-deduktives Beweisen immer nur Ziel des schulischen Mathematikunterrichts sein und über die Vorstufen eines alltagsnahen bzw. mathematischen Argumentierens erreicht werden kann (vgl. Brunner 2013). Und nicht zuletzt belegen die rund ein Dutzend Mal unterrichteten Lehrstücke, dass Beweisen (Prozess) und Beweise (Produkt) nicht von einander zu trennen sind und dass insgesamt eine tiefgründige, spiralförmige Behandlung der Thematik im Unterricht möglich ist. Beweisen kann und sollte eine Leitidee des Mathematikunterrichts im Sinne Heymanns sein, weshalb die Bildungsstandards Mathematik (2003 und 2012) diesbzgl. unbedingt zu ergänzen sind.

Summary:
The possibility to prove statements once and for all is a unique feature reserved to mathematics. The theorems which Euclid of Alexandria (about 300 BC) proved more than 2000 years ago in his "Elements", are still valid today – and they will be so in 2000 years. Discovering and producing irrefutable truth is the characteristic feature of mathematics, and "proofs" are one of its central concepts. However, how to teach those mathematical concepts in the classroom is one of the crucial points of didactics. From the start, the abundance of formally deductive proofs prevents the pupils from discovering the proof process systematically since the ready-made proof results hide the fundamental ideas on which the proof process is based. Thus a paradoxical situation occurs: The characteristic feature of mathematics as a science hardly appears in school, and a way out does not seem to exist. The present work aspires to contribute decisively to the solution of this central problem by means of the “Art of Teaching” (Lehrkunst) according to Berg/Schulze/Wildhirt etc. The “Lehrkunst” didactics wages to introduce to the classroom aesthetically fascinating and philosophically profound cultural examples of achievements, breakthroughs and guidelines of European culture in a serious, revealing and downshifting way – whatever be the subject: staging lessons (Lehrstücke) is the name of the resulting teaching units. It is the educational and didactic topicality of the “Lehrkunst” didactics which makes it a promising partner for the solution of the problem: Already for some years, “Lehrkunst” has been implementing by the development of staging lessons what seems to become necessary by the change initiated by PISA in 2003 to output orientation: a new beginning of the input orientation. For, nevertheless, instead of the ruling alternative “either-or”, there should rather be the formula “both as well” – both input and output! In its first part, the thesis treats the question how proofs have developed starting with Euclid of Alexandria to the present day and to what extent this development is considered in the didactics of mathematics. In addition, starting with Martin Wagenschein's methodical trias of the genetic, the Socratic and the exemplary principles („Teaching to Understand“, 1968) and Wolfgang Klafki’s „Theory of the Categorial Education“ (1959) – in the meantime, both are recognized as classics of the educational theory – the concept of “Lehrkunst” didactics is developed historically and elaborated in detail. In the second part, three examples of Martin Wagenschein – the discovery of the axiomatic method in the hexagram, Pythagoras’ theorem, the non-cessation of the prime number progression – are developed into staging lessons, which were taught several times and are reflected, evaluated and interpreted. In the course of this process, the development of didactic works becomes especially clear as a process of cumulative optimization. An abbreviated version of the three staging lessons is found in the special issue "Lehrkunstdidaktik" of the journal MU (MU – der Mathematikunterricht, Friedrich-Verlag, issue 6/2013). In the third part, the results are recapitulated and evaluated. The results show that the three staging lessons allow the pupils to individually reenact genetic achievements of our culture – which is the essence of the educational process according to Klafki and Heymann („Allgemeinbildung und Mathematik“, 1996/2013). Moreover, it appears that formal-deductive proofs can always be only one aim of mathematics lessons at school, but we can reach them via preliminary stages of mathematical arguing using everyday language (cf. Brunner, 2013). Last but not least, the staging lessons, all of them taught about a dozen of times, make evident that proving as a process and proofs as its products cannot be separated from each other and that a profound, spiral treatment of the topic is possible in the lessons altogether. Proofs and deductive reasoning should be a guiding principle of mathematics lessons according to Heymann, which is why the educational standards of mathematics (of 2003 and 2012) have to be complemented in this regard.

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  14. Sokrates: Aus der doppelt so großen Seite also, mein Junge, ergibt sich nicht ein doppelt so großes, sondern ein viermal so großes Viereck? Sklave: Ganz richtig.
  15. Sokrates: Aus dieser also, behauptest du, werde die achtfußige Figur hervorgehen, wenn nämlich die vier Seiten gleich lang gemacht werden? Sklave: Ja.
  16. Sokrates: Aus welcher denn? Versuche es uns genau zu sagen! Und wenn du es nicht in Zahlen ausdrücken willst, so deute nur hin, aus welcher! Sklave: Aber beim Zeus, Sokrates, ich weiß es nicht.
  17. Sokrates: Aus welcher Linie aber entsteht nun das achtfußige Viereck? – Also nicht wahr, aus dieser da entsteht das viermal so große? Sklave: Ich gebe es zu.
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  86. – 1.11.1998, Kunstmuseum Bonn, 28.1.- ‐14.3.1999, Galerie der Stadt Stuttgart, 2.7.- ‐ 29.8.1999. Im Auftrag der Stiftung für Kunst und Kultur e.V. DuMont Buchverlag. Köln.
  87. Sokrates: Lass uns nun von ihr aus vier gleichlange Seiten zeichnen! – Dieses also wäre die Figur, welche du genau für das acht Fuß haltende Viereck erklärst? Sklave: Allerdings.
  88. BERG, HANS CHRISTOPH; GERWIG, MARIO; WILDHIRT, SUSANNE (2013): Lehrkunstdidaktik 2013. Weiter auf dem Weg zu einer konkreten und allgemeinen Bildungsdidaktik. In: Zierer (Hrsg.) (2013), S. 11- ‐31.
  89. HARDER, ULRIKE (2011): Lehrkunstdidaktik und Klafkis frühe Bildungsdidaktik. Unter- ‐ richtserprobung in drei Lehrstücken: Goethes Italienische Reise – Athen in der Ära der Perikles – Die Bassermanns. Bürgertum in Deutschland durch neun Generationen. Inau- ‐ gural- ‐Dissertation. Uni Marburg. Online- ‐Ressource: http://archiv.ub.uni- ‐ marburg.de/diss/z2013/0104/pdf/duh.pdf (Download: 27.06.2013)
  90. BERG, HANS CHRISTOPH (2010): Lehrkunst und Bildung in den Trogener Lehrstücken. Inter- ‐ pretation und Studiendossier. In: Eugster/Berg (2010), S. 197- ‐210.
  91. SCHULZE, THEODOR (1995b): Lehrstück- ‐Dramaturgie. In: Berg/Schulze (1995), S. 361- ‐420.
  92. HEFENDEHL- ‐HEBEKER, LISA (2013): Lehrstücke als Oasen im Alltagsdruck. In: MU – der Ma- ‐ thematikunterricht " Lehrkunstdidaktik " . Heft 6/2013. S. 48- ‐49.
  93. LEPS, HORST (2013): Lehrstücke im Politikunterricht. Welches aber ist nun die beste Verfas- ‐ sung? Wochenschau Verlag. Schwalbach/Ts.
  94. WILDHIRT, SUSANNE (2007): Lehrstückunterricht gestalten. Linnés Wiesenblumen – Aesops Fabeln – Faradays Kerze. Exemplarische Studien zur lehrkunstdidaktischen Kompositi- ‐ onslehre. Inaugural- ‐Dissertation. Uni Marburg. Online- ‐Ressource: http://archiv.ub.uni- ‐marburg.de/diss/z2008/0159/pdf/dsw.pdf (Download: 08.11.2009)
  95. WILDHIRT, SUSANNE (2008): Lehrstückunterricht gestalten. " Man müsste in die Flamme hin- ‐ einschauen können " . Band 2 der Reihe " Lehrkunstdidaktik " . hep- ‐Verlag. Bern.
  96. EYER, MARC (2014): Lehrstückunterricht im Horizont der Kulturgenese. Lehrkunstdidaktische Komposition und Inszenierung von Galileis Fallgesetz – Pascals Barometer – Fermats Spiegeloptik. Inaugural- ‐Dissertation. Uni Marburg. Online- ‐Ressource: http://archiv.ub.uni- ‐marburg.de/diss/z2014/0084/pdf/dme.pdf (Download: 25.02.2014)
  97. MEYER, HILBERT (2007): Leitfaden Unterrichtsvorbereitung. Cornelsen Scriptor. Berlin.
  98. HATTIE, JOHN (2013): Lernen sichtbar machen. Schneider Verlag Hohengehren. Baltmanns- ‐ weiler. [Original: Visible Learning: A Synthesis of Over 800 Meta- ‐Analyses Relating to Achievement, 2009]
  99. FELTEN, MICHAEL; STERN, ELSBETH (2012): Lernwirksam unterrichten. Im Schulalltag von der Lernforschung profitieren. Cornelsen Scriptor. Berlin.
  100. Sokrates: Ließe sich nun nicht eine andere Figur zeichnen, welche doppelt so groß als jene und doch jener insoweit gleich wäre, daß sie, wie jene, lauter gleiche Seiten hätte? Sklave: Ja.
  101. WERNICKE, JENS (2013): Macht PISA dumm? Ein Interview mit dem Mathematikdidaktiker Wolfram Meyerhöfer. Online- ‐Ressource: http://www.nachdenkseiten.de/wp- ‐ print.php?p=19428 (Download: 04.12.2013) WERTHEIMER, MAX ( 2 1964): Produktives Denken. Waldemar Kramer. Frankfurt/Main. [Ori- ‐ ginal: Productive Thinking, 1945]
  102. RAEBIGER CHRISTOPH (1990): Martin Wagenscheins Sechs- ‐Stern. Eine Begegnung mit der Wahrheit. In: Neue Sammlung, 1990/1, Lehrkunst. S. 25- ‐31.
  103. LEUDERS, TIMO ( 5 2010): Mathematik- ‐Didaktik. Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Scriptor. Berlin.
  104. BARZEL, BÄRBEL; BÜCHTER, ANDREAS; LEUDERS, TIMO (2007): Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Scriptor. Berlin.
  105. HENTIG, HARTMUT VON (2009): Mein Leben – bedacht und bejaht. Beltz Verlag. Weinheim und Basel.
  106. KLIPPERT, HEINZ ( 20 2012): Methoden- ‐Training. Übungsbausteine für den Unterricht. Beltz&Gelberg. Weinheim und Basel.
  107. EGGEBRECHT, HANS HEINRICH ( 7 2008): Musik im Abendland. Prozesse und Stationen vom Mit- ‐ telalter bis zur Gegenwart. Piper Verlag. München. [Erstausgabe: 1996]
  108. Beltz. Weinheim und Basel. [Erstausgabe: 1968] WAGENSCHEIN, MARTIN ( 4 2009): Naturphänomene sehen und verstehen. Genetische Lehrgän- ‐ ge. Das Wagenschein- ‐Studienbuch. Herausgegeben von Hans Christoph Berg. Band 4 der Reihe " Lehrkunstdidaktik " . hep- ‐Verlag. Bern.
  109. WAGENSCHEIN, MARTIN ( 4 1967): Natur physikalisch gesehen. Zum Prinzip des " Exemplari- ‐ schen Lehrens " im physikalischen Schulunterricht aller Schularten. Verlag Moritz Dies- ‐ terweg. Frankfurt/Main. [Erstausgabe: 1953] WAGENSCHEIN, MARTIN (1968): Erwiderung auf W. Kroebels Kritik an meinen Vorschlägen zum Physikunterricht. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht. 21. Band. Heft 11. S. 374- ‐378.
  110. GASSER, PETER ( 3 2008): Neue Lernkultur. Eine integrative Didaktik. Cornelsen Sauerländer. Berlin und Oberentfelden. Literaturverzeichnis 287
  111. KLAFKI, WOLFGANG (1985/ 6 2007): Neue Studien zur Bildungstheorie und Didaktik. Zeitge- ‐ mäße Allgemeinbildung und kritisch- ‐konstruktive Didaktik. Beltz. Weinheim und Basel.
  112. Sokrates: Nun ja, wenn sie drei Fuß haben soll, so wollen wir noch von dieser die Hälfte hinzunehmen, so wird sie drei Fuß haben. Denn dies sind zwei Fuß und dies einer. Und von dieser Seite ebenso, dies zwei und dies einer. Und dieses wird nun die Figur sein, die du meinst.
  113. EYER, MARC; AESCHLIMANN, UELI (2013): Pascals Barometer frei nach Martin Wagenschein. " Also ist es wirklich wahr? " . Band 8 der Reihe " Lehrkunstdidaktik " . hep Verlag. Bern.
  114. PRONDCZYNSKY, ALEXANDER VON (1993): Pädagogik und Poiesis. Eine verdrängte Dimension des Theorie- ‐Praxis- ‐Verhältnisses. Leske + Budrich. Opladen.
  115. RUSSEL, BERTRAND ( 2 2009): Philosophie des Abendlandes. Ihr Zusammenhang mit der politi- ‐ schen und der sozialen Entwicklung. Europa Verlag. Zürich. [Original: A History of Wes- ‐ tern Philosophy, 1945] SCHERNIKAU, HEINZ (2009): Tiefensee – ein Schulmodell aus dem Geist der deutschen Klassik: Reformpädagogik am Beispiel Adolf Reichweins im geistes- ‐ und gesellschaftsgeschichtli- ‐ chen Grundriss. Beltz Verlag. Weinheim und Basel.
  116. AEBLI, HANS (1963): Psychologische Didaktik. Didaktische Auswertung der Psychologie von Jean Piaget, Ernst Klett Verlag. Stuttgart. [Original: Didactique psychologique. Applica- ‐ tion à la didactique de la psychologie de Jean Piaget, 1951]
  117. BAARS, GÜNTER (2011): Quantenchemie farbiger Stoffe mit Heisenberg und Einstein. Band 6 der Reihe " Lehrkunstdidaktik " . hep Verlag. Bern.
  118. OPAŁKA, ROMAN (2006): Roman Opałka – Octogone. Museé d'Art Moderne. Saint- ‐Etienne.
  119. STERN, ELSBETH; HARDY, ILONCA (2002): Schulleistungen im Bereich der mathematischen Bil- ‐ dung. In: Weinert (Hrsg.) ( 2 2002b), S. 153- ‐168.
  120. Sokrates: Sind nun nicht in dieser Figur vier Vierecke, von denen jedes dem vier Fuß haltenden gleich ist? Sklave: Ja.
  121. BENTLEY, WILSON ALWYN (2000): Snowflakes in Photographs. Dover Publications. Mineola, New York. [Erstausgabe dieser Edition: 1931. Original: Snow crystals, 1898].
  122. Sokrates: Also auch aus der dreifußigen Linie entsteht die achtfußige Figur noch nicht.
  123. Sokrates: Also ergibt sich eine Figur von zweimal zwei Fuß? Sklave: Ja.
  124. Sokrates: Da es nun aber auch hier zwei Fuß sind, macht es dann nicht notwendig zweimal zwei Fuß? Sklave: Doch.
  125. Sokrates: Denn viermal vier gibt sechzehn. Nicht wahr? Sklave: Ja.
  126. Sokrates: Die doppelt so große Figur aber sollte wieviel Fuß halten? Sklave: Acht.
  127. Sokrates: Dreimal drei Fuß aber macht wieviel? Sklave: Neun.
  128. Sokrates: Entstehen nun nicht so diese vier gleichen Linien, welche diese Figuren da einschließen? Sklave: Ja.
  129. Sokrates: Es ist also eine viereckige Figur, welche alle diese Seiten, deren es vier sind, gleich hat? Sklave: Allerdings.
  130. Sokrates: Es muß also die Linie der achtfußigen Figur größer sein als diese zwei Fuß lange, aber kleiner als die vier Fuß lange? Sklave: Notwendig.
  131. Sokrates: Für uns aber hätte es sollen nur zweimal so groß werden. Oder erinnerst du dich nicht? Sklave: Allerdings.
  132. Sokrates: Gut! Das acht Fuß haltende aber ist nun doppelt so groß wie dieses, und halb so groß wie jenes? Sklave: Allerdings.
  133. Sokrates: Hat nicht von diesen Vierecken, deren es vier sind, diese Linie jedesmal die Hälfte innen abgeschnitten? Oder nicht? Sklave: Ja.
  134. Sokrates: Hat sie nicht auch diese durch die Mitte gezogenen Linien gleich? Sklave: Ja.
  135. Sokrates: Ist nun das viermal so große das doppelt so große? Sklave: Nein, beim Zeus! Sokrates: Sondern das wievielfache? Sklave: Das Vierfache.
  136. Sokrates: Können wir nicht zur Vervollständigung auch noch hier in den Winkel eine zeichnen? Sklave: Ganz wohl.
  137. Sokrates: Nicht wahr, eine solche Figur könnte doch wohl auch größer oder kleiner sein? Sklave: Allerdings.
  138. Sokrates: Sag' mir doch, Junge, weißt du, was ein Viereck ist? Eine Figur wie diese? Sklave: Ja.
  139. Sokrates: Schön! Antworte nur immer, was dir dünkt! – Und nun sage mir: War nicht diese Linie zwei Fuß lang, und diese vier? Sklave: Ja.
  140. Sokrates: Und nun sieh einmal, wie groß wohl diese Figur ist? Sklave: Ich weiß es nicht.
  141. Sokrates: Was ist aber vier gegen zwei? Sklave: Doppelt so groß.
  142. Sokrates: Werden damit nun nicht genau vier gleiche Figuren hier entstehen? Sklave: Ja.
  143. Sokrates: Wie groß wird es also sein? Nicht wahr, viermal so groß? Sklave: Wie anders?
  144. Sokrates: Wie viele aber in dieser? Sklave: Zwei.
  145. Sokrates: Wie viele Fuß ergeben sich also nun für diese Figur? Sklave: Acht Fuß.
  146. Sokrates: Wie viele solche Hälften sind nun in dieser Figur enthalten? Sklave: Vier.
  147. Sokrates: Wie viel sind nun diese zweimal zwei Fuß? Rechne einmal und sage es! Sklave: Vier, Sokrates.
  148. Sokrates: Wohlan, versuche es mir nun zu sagen: wie groß wird jede Seite dieser zweiten Figur sein? Im ersten Viereck hat jede zwei Fuß; wie viel hat nun jede in diesem, das doppelt so groß ist? Sklave: Offenbar, Sokrates, das Doppelte. […]
  149. RÉNYI, ALFRÉD (1966): Sokratischer Dialog. In: Neue Sammlung. Göttinger Blätter für Kultur und Erziehung. 6. Jahrgang. Vandenhock & Ruprecht. Göttingen. S. 284- ‐304.
  150. DUVAL, RAYMOND (1991): Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la dé- ‐ monstration. In: Educational Studies in Mathematics, Volume 22, Heft 3, S. 233- ‐261.
  151. BALANCHEFF, NICHOLAS (1991): The Benefits and limits of social interaction: The case of teaching mathematical proof. In: Bishop, Alan J.; Mellin- ‐Olsen, Stieg; Van Dormolen, Joop (Hrsg.): Mathematical knowledge: Ist growth through teaching. Kluwer Academic Publishers. Dodrecht. S. 175- ‐192.
  152. BLANKERTZ, HERWIG ( 12 2006): Theorien und Modell der Didaktik. Juventa. Weinheim. [Erst- ‐ ausgabe: 1970]
  153. LOOMIS, ELISHA SCOTT ( 2 1940): The Pythagorean Proposition. The National Council of Tea- ‐ chers of Mathematics. Reston. Virginia. [Nachdruck: 1968, Erstausgabe: 1927]
  154. Sokrates: Und noch eine dritte hier, welche jeder von diesen beiden gleich ist? Sklave: Ja.
  155. Sokrates: Und nun? Das Ganze da, wievielmal so groß wird es sein als diese da? Sklave: Viermal so groß.
  156. Sokrates: Und von welcher Linie aus? Sklave: Von dieser.
  157. Sokrates: Und wie viel Fuß wird sie haben? Sklave: Acht.
  158. SCHMIDLIN, STEPHAN (Hrsg.) (2012): Unsere Abend- ‐Zeitung. Band 7 der Reihe " Lehrkunstdi- ‐ daktik " . hep- ‐Verlag. Bern.
  159. WAGENSCHEIN, MARTIN (1965a): Ursprüngliches Verstehen und Exaktes Denken. Band I. Ernst Klett Verlag. Stuttgart.
  160. GRUSCHKA, ANDREAS (2011b): Verstehen lehren. Ein Plädoyer für guten Unterricht. Reclam. Stuttgart.
  161. Sokrates: Versuche mir nun zu sagen, wie groß du wohl meinst, dass sie sei? Sklave: Drei Fuß.
  162. PETRIK, ANDREAS ( 2 2013): Von den Schwierigkeiten, ein politischer Mensch zu werden. Kon- ‐ zept und Praxis einer genetischen Politikdidaktik. Budrich- ‐Verlag. Opladen. (Erstaus- ‐ gabe: 2007)
  163. FRIEDRICH- ‐RAABE, SIMON (2004): Wagenscheins Sechs- ‐Stern. Erprobung von Wagenscheins genetisch- ‐sokratsich- ‐exemplarischem Ansatz in der Jahrgangsstufe 7. Pädagogische Prüfungsarbeit im Fach Mathematik. Marburg.
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  168. KLAFKI, WOLFGANG; BRAUN, KARL- ‐HEINZ (2007): Wege pädagogischen Denkens. Ein autobio- ‐ grafischer und erziehungswissenschaftlicher Dialog. Ernst Reinhardt Verlag. München.
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  170. FREUDENTHAL, HANS (1973): What groups mean in mathematics and what they should mean in mathematical education. In: Development in Mathematical Education. Cambridge University Press. S. 101- ‐114.
  171. Sokrates: Wird es also nicht aus einer Linie entstehen, die größer ist als die da, und kleiner als die dort? Oder nicht? Sklave: Ich denke wohl.
  172. Sokrates: Wird nun aber, wenn die ganze Figur hier drei und hier drei Fuß hat, wird sie da nicht dreimal drei Fuß halten? Sklave: Offenbar.
  173. Sokrates: Wird nun nicht diese Linie, die man von einem Winkel zum andern zieht, jedes von diesen Vierecken in zwei Hälften schneiden? Sklave: Ja.
  174. Sokrates: Wird nun nicht diese Seite noch einmal so groß wie zuvor, wenn wir ihr eine zweite von eben solcher Länge anfügen? Sklave: Gewiss.
  175. MEYER, MEINERT A.; MEYER, HILBERT (2007): Wolfgang Klafki. Eine Didaktik für das 21. Jahr- ‐ hundert? Beltz Verlag. Weinheim und Basel.
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  186. HEYMANN, HANS WERNER ( 2 2013): Allgemeinbildung und Mathematik. Beltz Verlag. Wein- ‐ heim und Basel. [Erstausgabe: 1996]


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