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Titel: Lokale Frequenzanalyse mittels Hilbert- und Wavelettransformation
Autor: Peil, Matthias
Weitere Beteiligte: Prof. Dr. Gromes, Wolgang
Erscheinungsjahr: 2004
URI: https://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2004/0555
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2004-05559
DOI: https://doi.org/10.17192/z2004.0555
DDC: Mathematik
Titel(trans.): Local Frequency analysis with Hilbert and Wavelet Transform

Dokument

Schlagwörter:
Instantaneous frequency, Analytical signal, Hilbert-Transformation, Signal analysis, Innere Funktion, Momentanfrequenz, Morlet-Rekonstruktionsformel, Zeit-Frequenz-A, Wavelet-Analyse, Komponentenzerlegung, Wavelet transformation, Fourier-Transformation, Analytische Funktion, Harmonische Analyse, Analytisches Signal

Zusammenfassung:
Die Dissertation beschäftigt sich mit der Zuordnung lokaler Frequenzen zu einem Signal. Dabei wird die Zuordnung mittels lokaler Maxima der Wavelettransformation und die Zuordnung über das analytische Signal/Hilberttransformation, d.h. durch die so genannte Momentanfrequenz untersucht. Insbesondere bei Verwendung des analytischen Signals stellt sich die Frage, wann die Zuordnung mit der physikalischen Interpretation übereinstimmt. Daher wird untersucht, unter welchen Bedingungen das analytische Signal eine Zuordnung lokaler Frequenzen im physikalischen Sinne ermöglicht. Gleichzeitig werden die Schwächen der Zuordnung lokaler Frequenzen über das analytische Signal aufgezeigt. Insbesondere ermöglicht das analytische Signal grundsätzlich nur die Zuordnung einer lokalen Frequenz, weshalb für eine sinnvolle Aussage mittels analytischem Signal/Hilberttransformation eine Komponentenzerlegung des Signals benötigt wird. Ohne eine solche Komponentenzerlegung liefert das analytische Signal nur eine mittlere Frequenz. Wegen der Bedeutung der Zuordnung lokaler Frequenzen verlangt man von Komponenten eines Signals, dass die Wavelettransformationen der Komponenten eine Zerlegung der Wavelettransformation des Ursprungssignals ergeben. Zusätzlich muß die Summe der Komponenten das Ursprungssignal ergeben. Um diese beiden Bedingungen zu erfüllen, wird zur Definition einer Komponente die Morlet-Rekonstruktionsformel verwendet, wobei bei dem zu betrachtenden Integral nicht über alle Frequenzen integriert wird (wodurch sich das Ursprungssignal ergeben würde), sondern nur über (Frequenz-) Intervalle, die sich aus der Zerlegung der Wavelettransformation des Ursprungssignals ergeben. Diese Zerlegung ergibt sich aus der Zerlegung der Menge der Zeit-Frequenz-Parameter (R x R+) in Zusammenhangskomponenten (abhängig von der Wavelettransformation des Signals). Dadurch ergibt sich die Bedingung, dass die Summe der Komponenten wieder das Ursprungssignal ergibt, automatisch (Morlet-Rekonstruktionsformel, s.o.). Dass die Wavelettransformation der Komponenten eine Zerlegung der Wavelettransformation des Ursprungssignals darstellt, erscheint zunächst ebenfalls offensichtlich, ist aber wesentlich schwieriger zu zeigen. Die Arbeit gliedert sich wie folgt: Kapitel 1: Einleitung Kapitel 2: Grundlagen, benutzte grundlegende Definitionen und Sätze. Kapitel 3: Historischer Ursprung des analytischen Signals. Analyse der Übereinstimmung lokaler Frequenzen mittels analytischem Signal/Hilberttransformation, d.h. der Momentanfrequenz mit der physikalischen Interpretation. Hierbei ergibt sich, dass innere Funktionen (spezielle Funktionen aus den Hardy-Räumen) eine besondere Rolle für die Fälle spielen, in denen die Momentanfrequenz der physikalischen Interpretation entspricht. Kapitel 4: Erweiterung der Morlet-Rekonstruktionsformel auf schwach-wachsende Funktionen, Erweiterung des analytischen Signals/Hilberttransformation auf schwach-wachsende Funktionen. Kapitel 5: Komponentenzerlegung von Signalen. Herleitung anhand eines einfachen Beispiels, anschließend alllgemeine Definition und Beweis der gewünschten Eigenschaften. Kapitel 6: In diesem Kapitel wird gezeigt, dass die lokalen Maxima der Wavelettransformation die Zuordnung lokaler Frequenzen im physikalischen Sinn ermöglicht und wann diese mit derjenigen über das analytische Signal übereinstimmt.

Summary:
The topic of this thesis is the assignment of local frequencies to a given signal. Two different methods are examined, the assignment through local maxima of the wavelet transform and the assignment through the analytic signal/Hilbert transform approach, i.e. the instantaneous frequency. Especially in the case of the analytic signal it is not clear when the assignment of the frequencies coincides with the physical interpretation. Therefore it is analyzed under which conditions the analytic signal delivers local frequencies in a physical sense. Additionally the weaknesses of the assignment of local frequencies via analytical signal are showed. In particular gives the analytical signal only one local frequency, wherefore a signal decomposition is needed to work on each component seperately. Without such a decomposition the analytical signal approach yields just a mean frequency. Because of the importance for the assignment of local frequencies one expects from components of a decomposition of a signal that the wavelet transform of the components is also a decomposition of the wavelet transform of the original signal. Additionally the sum of all components has to equal the original signal. To fulfill both requirements the definition of components uses the Morlet reconstruction formula. In the occuring integrals will be integrated not over all frequencies (which would deliver the original signal) but over intervalls, which are generated out of a decomposition of the wavelet transform of the original signal. This decomposition is generated out of a decomposition of the time frequency space (R x R+) such that these sets are connected (depending on the wavelet transform of the signal). In this case the first requirement that the sum coincides with the original signal is fulfilled automatically (Morlet reconstruction formula, s. a.). That the wavelet transform of the components is also a decomposition of the wavelet transform of the original signal seems at first obvious but is much harder to proove. The thesis is structured in the following way: Chapter 1: Introduction Chapter 2: Preliminaries, basic definitions and propositions Chapter 3: Historical origin of the concept of the analytical signal. Analysis of the conincidence of local frequencies via analytical signal/Hilbert transform, i.e. instantaneous frequency with physical interpretation. The analysis showed that inner functions (special functions out of Hardy space) play an important role in the cases where the instantaneous frequency coincides with the physical interpretation. Chapter 4: Enhancement of the Morlet reconstruction formula to weak growing functions (a function which divided by a polynome is integrable), enhancement of the analytical signal/Hilbert transform to weak growing functions. Chapter 5: Decompositions of signals. Derivation according to an easy example followed by the general definition and the proof of the desired requirements. Chapter 6: In this chapter it is shown that the local maxima of the wavelet transform delivers local frequencies in the physical sense and when these coincides with those of the analytical singal.


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