Lokale Frequenzanalyse mittels Hilbert- und Wavelettransformation

Die Dissertation beschäftigt sich mit der Zuordnung lokaler Frequenzen zu einem Signal. Dabei wird die Zuordnung mittels lokaler Maxima der Wavelettransformation und die Zuordnung über das analytische Signal/Hilberttransformation, d.h. durch die so genannte Momentanfrequenz untersucht. Insbesondere...

Ausführliche Beschreibung

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser: Peil, Matthias
Beteiligte: Prof. Dr. Gromes, Wolgang (BetreuerIn (Doktorarbeit))
Format: Dissertation
Sprache:Deutsch
Veröffentlicht: Philipps-Universität Marburg 2004
Mathematik und Informatik
Schlagworte:
Online Zugang:PDF-Volltext
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Beschreibung
Zusammenfassung:Die Dissertation beschäftigt sich mit der Zuordnung lokaler Frequenzen zu einem Signal. Dabei wird die Zuordnung mittels lokaler Maxima der Wavelettransformation und die Zuordnung über das analytische Signal/Hilberttransformation, d.h. durch die so genannte Momentanfrequenz untersucht. Insbesondere bei Verwendung des analytischen Signals stellt sich die Frage, wann die Zuordnung mit der physikalischen Interpretation übereinstimmt. Daher wird untersucht, unter welchen Bedingungen das analytische Signal eine Zuordnung lokaler Frequenzen im physikalischen Sinne ermöglicht. Gleichzeitig werden die Schwächen der Zuordnung lokaler Frequenzen über das analytische Signal aufgezeigt. Insbesondere ermöglicht das analytische Signal grundsätzlich nur die Zuordnung einer lokalen Frequenz, weshalb für eine sinnvolle Aussage mittels analytischem Signal/Hilberttransformation eine Komponentenzerlegung des Signals benötigt wird. Ohne eine solche Komponentenzerlegung liefert das analytische Signal nur eine mittlere Frequenz. Wegen der Bedeutung der Zuordnung lokaler Frequenzen verlangt man von Komponenten eines Signals, dass die Wavelettransformationen der Komponenten eine Zerlegung der Wavelettransformation des Ursprungssignals ergeben. Zusätzlich muß die Summe der Komponenten das Ursprungssignal ergeben. Um diese beiden Bedingungen zu erfüllen, wird zur Definition einer Komponente die Morlet-Rekonstruktionsformel verwendet, wobei bei dem zu betrachtenden Integral nicht über alle Frequenzen integriert wird (wodurch sich das Ursprungssignal ergeben würde), sondern nur über (Frequenz-) Intervalle, die sich aus der Zerlegung der Wavelettransformation des Ursprungssignals ergeben. Diese Zerlegung ergibt sich aus der Zerlegung der Menge der Zeit-Frequenz-Parameter (R x R+) in Zusammenhangskomponenten (abhängig von der Wavelettransformation des Signals). Dadurch ergibt sich die Bedingung, dass die Summe der Komponenten wieder das Ursprungssignal ergibt, automatisch (Morlet-Rekonstruktionsformel, s.o.). Dass die Wavelettransformation der Komponenten eine Zerlegung der Wavelettransformation des Ursprungssignals darstellt, erscheint zunächst ebenfalls offensichtlich, ist aber wesentlich schwieriger zu zeigen. Die Arbeit gliedert sich wie folgt: Kapitel 1: Einleitung Kapitel 2: Grundlagen, benutzte grundlegende Definitionen und Sätze. Kapitel 3: Historischer Ursprung des analytischen Signals. Analyse der Übereinstimmung lokaler Frequenzen mittels analytischem Signal/Hilberttransformation, d.h. der Momentanfrequenz mit der physikalischen Interpretation. Hierbei ergibt sich, dass innere Funktionen (spezielle Funktionen aus den Hardy-Räumen) eine besondere Rolle für die Fälle spielen, in denen die Momentanfrequenz der physikalischen Interpretation entspricht. Kapitel 4: Erweiterung der Morlet-Rekonstruktionsformel auf schwach-wachsende Funktionen, Erweiterung des analytischen Signals/Hilberttransformation auf schwach-wachsende Funktionen. Kapitel 5: Komponentenzerlegung von Signalen. Herleitung anhand eines einfachen Beispiels, anschließend alllgemeine Definition und Beweis der gewünschten Eigenschaften. Kapitel 6: In diesem Kapitel wird gezeigt, dass die lokalen Maxima der Wavelettransformation die Zuordnung lokaler Frequenzen im physikalischen Sinn ermöglicht und wann diese mit derjenigen über das analytische Signal übereinstimmt.