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Titel:Seshadri-Kostanten auf abelschen Flächen
Autor:Schulz, Christoph
Weitere Beteiligte: Bauer, Thomas (Prof. Dr.)
Erscheinungsjahr:2004
URI:http://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2004/0394
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2004-03943
DOI: https://doi.org/10.17192/z2004.0394
DDC: Mathematik
Titel(trans.):Seshadri constants on abelian surfaces

Dokument

Schlagwörter:
Elliptische Kurve, Abelsche Fläche, Line bundle, Geradenbündel, Linearsysteme, Abelian surface, Eliptic curve, Seshadri-Konstante, Linear system, Algebraische Geometrie, Seshadri constant, Algebraische Fläche, Local positivity

Zusammenfassung:
Christoph Schulz, Seshadri-Konstanten auf abelschen Flächen, Zusammenfassung: Gegenstand dieser Arbeit sind Seshadri-Konstanten von amplen Geradenbündeln auf glatten projektiven komplexen Varietäten. Zu einem amplen Geradenbündel L und einem Punkt x definiert man die Seshadri-Konstante durch das Supremum der positiven Zahlen e, sodass das Bündel f*L-eE noch nef ist über der Aufblasung der Varietät in x mit exzeptionellem Divisor E. Auf diese Weise wird ein Maß für die 'lokale' Positivität von L definiert. Eine explizite Berechnung von Seshadri-Konstanten ist im Allgemeinen recht schwierig und nur unter Zuhilfenahme spezieller geometrischer Eigenschaften der Varietät möglich. Ziel der Arbeit ist es, explizite Methoden für die Berechnung von Seshadri-Konstanten auf abelschen Flächen zusammenzutragen. Neben den Methoden für beliebige komplexe projektive Varietäten aus Kapitel 1 werden in Kapitel 2 und 3 spezielle Methoden für abelsche Flächen entwickelt. Hier werden einige bekannte Resultate dargestellt und im Anschluss eigene Berechnungen präsentiert. Die zentralen neuen Ergebnisse finden sich in Kapitel 3, hier werden Seshadri-Konstanten auf den folgenden Produkten zweier elliptischer Kurven betrachtet: (1) das Produkt von zwei nicht isogenen elliptischen Kurven, (2) das Produkt einer elliptischen Kurve ohne komplexe Multiplikation mit sich selbst, (3) das Produkt spezieller elliptischer Kurven mit komplexer Multiplikation mit sich selbst. Es gelingt, die Seshadri-Konstanten aller Geradenbündel explizit zu berechnen, wobei mit (2) und (3) die ersten Ergebnisse für abelsche Flächen mit Picard-Zahl 3 und 4 erzielt werden. Hierbei zeigt es sich, dass die elliptischen Kurven auf den untersuchten Flächen eine besondere Rolle spielen. Daher wird eine Parametrisierung der numerischen Äquivalenzklassen der elliptischen Kurven angegeben, mittels derer sich durch zahlentheoretische Überlegungen submaximale elliptische Kurven finden lassen, die für die Berechnung der Seshadri-Konstanten von Bedeutung sind. Es werden explizite Formeln zur Berechnung der Seshadri-Konstanten anhand der numerischen Äquivalenzklasse eines Geradenbündels angegeben und das Verhalten der Seshadri-Funktion auf dem Nef-Kegel untersucht. Nach einer Einleitung werden im ersten Kapitel grundlegende Begriffe, wie Seshadri-Konstanten, Submaximalität und abelsche Flächen erläutert. Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit Seshadri-Konstanten auf abelschen Flächen. Hier werden neben allgemeinen Ergebnissen und Abschätzungen auch erste Ergebnisse für die Berechnung der Seshadri-Konstanten auf einfachen abelschen Flächen dargestellt, insbesondere das Resultat von Thomas Bauer über abelsche Flächen mit Picard-Zahl 1. Das dritte Kapitel ist der expliziten Berechnung der Seshadri-Konstanten auf nichteinfachen abelschen Flächen gewidmet. Es gelingt hier insbesondere die Berechnung der Seshadri-Konstanten auf Kreuzprodukten zweier elliptischer Kurven.

Summary:
Christoph Schulz, Seshadri constants on abelian surfaces, Abstract: The main subject of this thesis are Seshadri constants of ample line bundles on smooth projective complex varieties. For an ample line bundle L and a point x one defines the Seshadri constant to be the supremum of all positive numbers e, such that the bundle f*L-eE is still nef over the blow up of the variety in the point x with exceptional divisor E. With this one measures the 'local' positivity of the line bundle L in the point x. It shows that Seshadri constants are difficult to calculate explicitly, even with using specific geometric properties of the variety. The aim will be to find methods for the calculation of Seshadri constants on abelian surfaces. After showing some methods for general projective complex surfaces in chapter 1, we focus on special methods for abelian surfaces in chapter 2 and 3. We will present a collection of known and new ideas, where the central new results are given in chapter 3. Here we calculate Seshadri constants on products of elliptic curves: (1) the product of two elliptic curves, which are not isogenous, (2) the product of an elliptic curve without complex multiplication with itself, (3) the product of special elliptic curves with complex multiplication with itself. We succeed to calculate the Seshadri constants for all given ample line bundles in these cases. Doing this, we are able to give the first known results for abelian surfaces with Picard number 3 and 4. It shows that the elliptic curves on these surfaces play a important role for the calculation of the Seshadri constants. Therefore we give a parameterisation of the numerical equivalence classes of all elliptic curves on these surfaces. Having this at hand, we use methods from the geometry of numbers to find submaximal curves. In this way we can give explicit formulas for the calculation of the Seshadri constants, using the numerical equivalence class of the line bundle, and examine the behaviour of the Seshadri function on the nef cone. After an introduction the basic notions, like Seshadri constants, submaximality and abelian surfaces are explained in chapter one. The second chapter deals with Seshadri constants of abelian surfaces. After giving some general results and bounds, we show the first calculations for simple abelian surfaces, particularly the result of Thomas Bauer for simple abelian surfaces with Picard number 1. The third chapter is devoted to the calculation of Seshadri constants on not simple abelian surfaces. Especially products of two elliptic curves with and without complex multiplication are studied in detail.


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