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Titel:Hilbertsche Zerlegungen eingebetteter Prozessräume und ihre Anwendung auf die Vorhersage von Zeitreihen
Autor:Jäger, Ralf
Weitere Beteiligte: Portenier, Claude (Prof. Dr.)
Erscheinungsjahr:2004
URI:http://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2004/0097
DOI: https://doi.org/10.17192/z2004.0097
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2004-00974
DDC: Mathematik
Titel(trans.):Hilbert decompositions of embedded process spaces with application to time series prediction

Dokument

Schlagwörter:
Vorhersagetheorie, Kovarianzoperator, Hilbert spaces with reproducing kernels, Covariance operators, Karhunen-Loève-Zerlegung, Dreieckszerlegung, Prädik, Verallgemeinerter Funktionenraum, Selbstähnliche Prozesse, Factorization theory, Kovarianzfunktion, Hilbert-Unterraum, Series expansion of processes, Stochastischer Prozess, Prediction theory, Abschließbarer Operator, Dekomposition

Zusammenfassung:
Die Theorie zur Analyse von Zeitreihen oder stochastischen Prozessen ist teilweise funktionalanalytisch geprägt. Dies gilt z. B. für Arbeiten über reproduzierende Kern-Hilbert-Räume, die man Prozessen zuordnet. Ähnlich geprägt ist der Aufbau der Karhunen-Loève-Zerlegung, die Spektraltheorie stationärer Prozesse und das Konzept der orthogonalen Projektion als Prädiktion. Die vorliegende Arbeit vertieft diese Theorie, indem sie moderne Methoden der Funktionalanalysis auf das Gebiet der stochastischen Prozesse überträgt und neue bzw. erweiterte Ergebnisse erzielt. Die obigen Themen sind nur eine Auswahl aus dem Feld der Zeitreihenanalyse, skizzieren aber die Schnittfläche zwischen Prozesstheorie und Analysis, auf welcher sich die vorliegende Arbeit bewegt. Die Struktur stationärer Prozesse erlaubt den erfolgreichen Einsatz analytischer Werkzeuge. Als Beispiel mag die stationäre Vorhersagetheorie dienen, deren Anfang durch Wiener und Kolmogorov geprägt wurde und die von abstrakter, (Fourier-)analytischer Natur ist. Verallgemeinerungen zur Herleitung analoger Resultate ohne Stationaritätsvoraussetzungen werden bis heute gesucht und bedürfen evtl. alternativer Zeitbereichsmethoden, die allein über den Indexbereich (Zeit) des Prozesses beschrieben werden können. Ähnliches zeigt sich auf dem Feld der Darstellungstheorie stochastischer Prozesse, dessen Ursprung Karhunen und Loève zugeschrieben werden kann. Die bisherige Theorie fußt meist auf elementaren Isometrien zwischen dem Prozessraum und einem Raum von quadratisch integrierbaren Funktionen - Spektralbereich genannt. Konkreter findet man die Ausführungen für stetige Prozesse auf kompaktem Intervall, wo sich die Verbindung zu Eigenvektorbasen von Integraloperatoren eröffnet (Mercers Theorem). Statt den Einfluss dieser Spektraltheorie auf die Darstellung von Prozessen auszuweiten, hielt man an der Abzählbarkeit der Eigenvektorbasis und der resultierenden Reihenentwicklung des Prozesses fest. Vergleichbares findet sich zur Beziehung zwischen Prozessen und den zugehörigen hilbertschen Unterräumen. Die durch Parzen publizierte Verbindung ordnet einem Prozess einen Kern-Hilbert-Raum (i.S.v. Aronszajn) zu. Dieser Raum von Funktionen auf der Zeitmenge erlaubt eine isometrische Beschreibung des Prozessraums. Diese Assoziation gestaltet sich auf Grund diskreten Indexbereichs zwar sehr elementar, ist aber bis heute durchaus üblich. Zusammenfassung der obigen Probleme und Fragen und wie die vorliegende Dissertation diese angeht: (1) Zu Prozessen gehörige hilbertsche Unterräume werden bisher unter Annahme der diskreten Topologie auf der Indexmenge eingeführt und ergeben sich als Kern-Hilbert-Räume i.S.v. Aronszajn. Die vorliegende Arbeit analysiert, inwieweit ein Bewahren der tatsächlichen Topologie des Zeitbereichs möglich ist und welche Auswirkungen dies auf Konstruktion und Eigenschaften des Prozessraums hat. Der Indexbereich wird als hilbertscher Pivotraum topologisch berücksichtigt und Kovarianzfunktionen als verallgemeinerte Funktionen interpretiert. Die dann entwickelte Einbettungstheorie liefert in diesem erweiterten Rahmen den zum Prozess gehörigen hilbertschen Prozessraum und dessen ?reproduzierende Eigenschaft?. (2) An Prozessräume schließen sich Fragen nach Basen und deren Konstruktionen an. Bisher wurden diese Aspekte auf die Darstellung des Prozesses vermöge eines abzählbaren Orthonormalsystems reduziert und mittels Isometrien innerhalb der Hilbert-Räume angegangen. Die Dissertation untersucht, ob moderne Zerlegungstechniken für hilbertsche Unterräume Basen und Konstruktionen neuerer (insb. kontinuierlicher) Art möglich machen und gibt zwei Verfahren an: Bildzerlegungen und Spektralzerlegungen. Beide unterliegen keiner Abzählbarkeitsbedingung, erweitern bisheriges Vorgehen und erlauben eine Darstellung des Prozesses. (3) Die bekannte Karhunen-Loève-Entwicklung bezieht sich im Prinzip auf das übliche Isometrieverfahren und ist von abzählbarem Charakter. Allerdings wird die Entwicklung über die Spektraltheorie spezieller, positiver Kernoperatoren hergeleitet. Die Arbeit klärt, inwiefern eine verallgemeinerte Fassung mittels unbeschränkter positiver Operatoren möglich ist. Sie charakterisiert allgemein den Einfluss der Spektraltheorie solcher Operatoren auf das (Spektral-)Zerlegungsverfahren ähnlich wie Mercers Theorem im Konkreten. (4) Schließlich spielen Zerlegungen in der Vorhersage stochastischer Prozesse eine Rolle, wobei der meist Fourier-analytische Aufbau den Zeitbereich nicht klar in Verbindung mit der Zerlegung bringt. Die Dissertation analysiert, wie durch eine Zeitbereichs-Interpretation eine Vorhersagezerlegung allgemein charakterisiert werden kann. Die gefundenen Prädiktionsverfahren zeigen ein grundlegendes ?Gram-Schmidt-Prinzip? und weisen eine Verwandtschaft zur Cholesky-Faktorisierung auf. Formeln in entsprechenden Zerlegungen werden hergeleitet und in Bezug zu bisherigen Ergebnissen gebracht.

Summary:
The Theory of Time Series or Stochastic Processes is partly of functional analytic character. Well-known examples are the Reproducing Kernel Hilbert space associated with a process, and the Karhunen-Loève expansion. More generally, the Spectral Theory of stationary processes, and orthogonal projection as a principle of prediction, are functional analytic aspects of time series. This dissertation aims at enhancing this theory by transfering modern methods of functional analysis to the field of Stochastic Processes, providing new resp. broadened results. The above-mentioned topics are just a few out of Time Series Analysis but they convey the interface between Stochastic Processes and Analysis on which this thesis focuses. We give a more detailed description: To begin with, it is the structure of stationary processes that allows successful application of analytic tools. For instance, the stationary Prediction Theory started by Wiener and Kolmogorov is of abstract and (Fourier) analytic nature. Generalizations leading to similar results without the restriction of stationarity are still of interest. They might require alternative time domain methods formalized only by means of the process' indexset (time). Besides, Representation Theory of Stochastic Processes seems limited to its original setting. As initiated by Karhunen and Loève the theory depends on elementary isometries between the process space and a space of quadratically integrable functions - called Spectral Domain. Continuous processes on compact intervals allow precise deductions and reveal the refineable connection to eigenvector bases of integral operators (Mercer's Theorem). Finally, the Theory of Hilbert Subspaces associated with processes could be modernized, too. Parzen published the relationship by linking a Kernel Hilbert space (in the sense of Aronszajn) to a process. This space of functions on the indexset gives rise to an isometric description of the process space. The relationship is still of relevance, even though it is of rather elementary character due to the discreteness of the time domain. In summary, the open problems and the way the presented thesis approaches them are as follows: (1) Hilbert Subspaces associated with processes are introduced until now assuming a discrete topology on the indexset and this leads solely to Kernel Hilbert spaces in the sense of Aronszajn. This dissertation analyses in how far the actual topology of the time domain could be preserved and what consequences this brings for the construction as well as for the properties of the process space. Time is modelled topologically in form of a (pivotal) Hilbert space and covariance functions are understood as generalized functions. The developed theory of embeddable processes provides associated Hilbert subspaces within this generalized setting. A 'Reproducing Property' of the embedded process space is proved. (2) Issues of bases (for the process spaces) and their constructions follow immediately. So far, they have been formulated as representation problems for the related process by means of a denumerable orthonormal system. Solutions depend on elementary isometries within Hilbert spaces. This thesis shows how modern decomposition techniques of Hilbert Subspaces give rise to new (esp. continuous) bases and describes two construction methods: image and spectral decompositions. Both are independent of conditions of denumerability, incorporate existing methods and allow a representation of the process. (3) The known Karhunen-Loève expansion builts on the usual isometry arguments limited to a formalism of denumerability. However, it is the Spectral Theory of special, positive integral operators which yields the expansion. The dissertation clarifies the abstract formalism by means of unbounded positive operators. The relevance of such operators' Spectral Theory for the resulting spectral decomposition is illustrated, abstracting the rather specific influence of Mercer's Theorem. (4) The use of decompositions for prediction purposes is obvious. So far, preferred Fourier analytic approaches seem to disguise important time domain aspects of forecasting, though. The presented thesis aims at characterizing a general prediction decomposition using time domain terminology. The found prediction methods show an intrinsic 'Gram-Schmidt Principle' and indicate the relationship with Cholesky's Factorization. Predictors in terms of decomposition bases are given as well as their connection to previous results.


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