Hilbertsche Zerlegungen eingebetteter Prozessräume und ihre Anwendung auf die Vorhersage von Zeitreihen

Die Theorie zur Analyse von Zeitreihen oder stochastischen Prozessen ist teilweise funktionalanalytisch geprägt. Dies gilt z. B. für Arbeiten über reproduzierende Kern-Hilbert-Räume, die man Prozessen zuordnet. Ähnlich geprägt ist der Aufbau der Karhunen-Loève-Zerlegung, die Spek...

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser: Jäger, Ralf
Beteiligte: Portenier, Claude (Prof. Dr.) (BetreuerIn (Doktorarbeit))
Format: Dissertation
Sprache:Deutsch
Veröffentlicht: Philipps-Universität Marburg 2004
Reine und Angewandte Mathematik
Schlagworte:
Online Zugang:PDF-Volltext
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Beschreibung
Zusammenfassung:Die Theorie zur Analyse von Zeitreihen oder stochastischen Prozessen ist teilweise funktionalanalytisch geprägt. Dies gilt z. B. für Arbeiten über reproduzierende Kern-Hilbert-Räume, die man Prozessen zuordnet. Ähnlich geprägt ist der Aufbau der Karhunen-Loève-Zerlegung, die Spektraltheorie stationärer Prozesse und das Konzept der orthogonalen Projektion als Prädiktion. Die vorliegende Arbeit vertieft diese Theorie, indem sie moderne Methoden der Funktionalanalysis auf das Gebiet der stochastischen Prozesse überträgt und neue bzw. erweiterte Ergebnisse erzielt. Die obigen Themen sind nur eine Auswahl aus dem Feld der Zeitreihenanalyse, skizzieren aber die Schnittfläche zwischen Prozesstheorie und Analysis, auf welcher sich die vorliegende Arbeit bewegt. Die Struktur stationärer Prozesse erlaubt den erfolgreichen Einsatz analytischer Werkzeuge. Als Beispiel mag die stationäre Vorhersagetheorie dienen, deren Anfang durch Wiener und Kolmogorov geprägt wurde und die von abstrakter, (Fourier-)analytischer Natur ist. Verallgemeinerungen zur Herleitung analoger Resultate ohne Stationaritätsvoraussetzungen werden bis heute gesucht und bedürfen evtl. alternativer Zeitbereichsmethoden, die allein über den Indexbereich (Zeit) des Prozesses beschrieben werden können. Ähnliches zeigt sich auf dem Feld der Darstellungstheorie stochastischer Prozesse, dessen Ursprung Karhunen und Loève zugeschrieben werden kann. Die bisherige Theorie fußt meist auf elementaren Isometrien zwischen dem Prozessraum und einem Raum von quadratisch integrierbaren Funktionen - Spektralbereich genannt. Konkreter findet man die Ausführungen für stetige Prozesse auf kompaktem Intervall, wo sich die Verbindung zu Eigenvektorbasen von Integraloperatoren eröffnet (Mercers Theorem). Statt den Einfluss dieser Spektraltheorie auf die Darstellung von Prozessen auszuweiten, hielt man an der Abzählbarkeit der Eigenvektorbasis und der resultierenden Reihenentwicklung des Prozesses fest. Vergleichbares findet sich zur Beziehung zwischen Prozessen und den zugehörigen hilbertschen Unterräumen. Die durch Parzen publizierte Verbindung ordnet einem Prozess einen Kern-Hilbert-Raum (i.S.v. Aronszajn) zu. Dieser Raum von Funktionen auf der Zeitmenge erlaubt eine isometrische Beschreibung des Prozessraums. Diese Assoziation gestaltet sich auf Grund diskreten Indexbereichs zwar sehr elementar, ist aber bis heute durchaus üblich. Zusammenfassung der obigen Probleme und Fragen und wie die vorliegende Dissertation diese angeht: (1) Zu Prozessen gehörige hilbertsche Unterräume werden bisher unter Annahme der diskreten Topologie auf der Indexmenge eingeführt und ergeben sich als Kern-Hilbert-Räume i.S.v. Aronszajn. Die vorliegende Arbeit analysiert, inwieweit ein Bewahren der tatsächlichen Topologie des Zeitbereichs möglich ist und welche Auswirkungen dies auf Konstruktion und Eigenschaften des Prozessraums hat. Der Indexbereich wird als hilbertscher Pivotraum topologisch berücksichtigt und Kovarianzfunktionen als verallgemeinerte Funktionen interpretiert. Die dann entwickelte Einbettungstheorie liefert in diesem erweiterten Rahmen den zum Prozess gehörigen hilbertschen Prozessraum und dessen ?reproduzierende Eigenschaft?. (2) An Prozessräume schließen sich Fragen nach Basen und deren Konstruktionen an. Bisher wurden diese Aspekte auf die Darstellung des Prozesses vermöge eines abzählbaren Orthonormalsystems reduziert und mittels Isometrien innerhalb der Hilbert-Räume angegangen. Die Dissertation untersucht, ob moderne Zerlegungstechniken für hilbertsche Unterräume Basen und Konstruktionen neuerer (insb. kontinuierlicher) Art möglich machen und gibt zwei Verfahren an: Bildzerlegungen und Spektralzerlegungen. Beide unterliegen keiner Abzählbarkeitsbedingung, erweitern bisheriges Vorgehen und erlauben eine Darstellung des Prozesses. (3) Die bekannte Karhunen-Loève-Entwicklung bezieht sich im Prinzip auf das übliche Isometrieverfahren und ist von abzählbarem Charakter. Allerdings wird die Entwicklung über die Spektraltheorie spezieller, positiver Kernoperatoren hergeleitet. Die Arbeit klärt, inwiefern eine verallgemeinerte Fassung mittels unbeschränkter positiver Operatoren möglich ist. Sie charakterisiert allgemein den Einfluss der Spektraltheorie solcher Operatoren auf das (Spektral-)Zerlegungsverfahren ähnlich wie Mercers Theorem im Konkreten. (4) Schließlich spielen Zerlegungen in der Vorhersage stochastischer Prozesse eine Rolle, wobei der meist Fourier-analytische Aufbau den Zeitbereich nicht klar in Verbindung mit der Zerlegung bringt. Die Dissertation analysiert, wie durch eine Zeitbereichs-Interpretation eine Vorhersagezerlegung allgemein charakterisiert werden kann. Die gefundenen Prädiktionsverfahren zeigen ein grundlegendes ?Gram-Schmidt-Prinzip? und weisen eine Verwandtschaft zur Cholesky-Faktorisierung auf. Formeln in entsprechenden Zerlegungen werden hergeleitet und in Bezug zu bisherigen Ergebnissen gebracht.