About GKM- and non-abelian Hamiltonian actions

This thesis revolves around two different, but not entirely unrelated topics. The first is the realization problem in GKM theory, the second is the topic of multiplicity free manifolds. Regarding the realization problem, we first show that a large class of GKM graphs is in fact a restriction of a...

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Main Author: Wardenski, Nikolas
Contributors: Goertsches, Oliver (Prof. Dr.) (Thesis advisor)
Format: Doctoral Thesis
Language:English
Published: Philipps-Universität Marburg 2023
Subjects:
Online Access:PDF Full Text
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In dieser Dissertation geht es um zwei verschiedene, aber nicht gänzlich unzusammenhängende Themengebiete. Ersteres ist das Realisierungsproblem in GKM-Theorie, zweiteres ist das der (Hamilton'schen) multiplizitätsfreien Mannigfaltigkeiten. Bezogen auf das Realisierungsproblem zeigen wir zunächst, dass eine große Klasse von GKM-Graphen eine Einschränkung von Torus-Graphen ist. Diese Klasse beinhaltet realisierbare GKM_4-Graphen, also insbesondere realisierbare Graphen in 'general position' mit einer Valenz von mindestens 5. Die dazugehörigen GKM-Mannigfaltigkeiten wurden zuerst von Ayzenberg und dann später noch von Masuda in [A18] und [AM19] betrachtet. Danach wird ein hinreichendes Kriterium für die äquivariante Formalität einer sechsdimensionalen T^2-Mannigfaltigkeit bewiesen, das dann zusammen mit Ergebnissen aus [GKZ22] dafür benutzt wird, um jeden orientierbaren 3-valenten GKM-Graphen zu realisieren. Anschließend geht es um die Realisierung gewisser GKM-Faserbündel, was eine Verallgemeinerung von [GKZ20] darstellt. Genauer geben wir eine Charakterisierung dafür an, welche GKM-Faserbündel Γ -> Γ' -> B realisierbar sind. Mit B ist hierbei der GKM-Graph einer vierdimensionalen quasitorischen Mannigfaltigkeit gemeint und Γ ist der GKM-Graph einer verallgemeinerten Fahnenmannigfaltigkeit der Form G/T, wobei T ⊂ G ein maximaler Torus ist. Am Ende konstruieren wir auch viele nichttriviale Beispiele solcher GKM-Faserbündel. Das letzte Kapitel ist essentiell identisch zum Artikel [GSW22], wo wir uns mit multiplizitätsfreien U(2)-Mannigfaltigkeiten beschäftigen. Solche stellen eine natürliche Verallgemeinerung torischer Mannigfaltigkeiten, die in [Del88] klassifiziert wurden, auf nicht-abelsche Liegruppen dar. Friedrich Knop [Kno11] nutzte die vorangegangene Arbeit von Losev [Los09] und konnte diese anhand ihres Hauptisotropietyps und ihres invarianten Impulsbildes klassifizieren. Wir beschränken uns hier auf die Gruppe U(2) und geben explizit sowohl den äquivarianten Diffeomorphismentyp als auch die symplektische Form gewisser multiplizitätsfreien U(2)-Mannigfaltigkeiten an. Darunter befinden sich solche, deren Impulsbild ein Dreieck ist. Darauf aufbauend formulieren und beweisen wir ein leicht zu überprüfendes Kriterium dafür, wann eine multiplizitätsfreie U(2)-Mannigfaltigkeit eine kompatible Kählerstruktur, die invariant unter der U(2)-Wirkung ist, zulässt. Es stellt sich heraus, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die dazugehörige Wirkung von T^2 ⊂ U(2) eine solche zulässt.