The Gelfand-Kirillov dimension of rank 2 Nichols algebras of diagonal type

Most interests in the theory of Nichols algebras emerged from the the theory of pointed Hopf algebras. For their classification it is an essential step to classify finite (Gelfand-Kirillov-) dimensional Nichols-algebras under some finiteness conditions. Nichols algebras have been discussed iby vari...

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Main Author: Heymann-Heidelberger, Eric
Contributors: Heckenberger, István (Prof.Dr.) (Thesis advisor)
Format: Doctoral Thesis
Language:English
Published: Philipps-Universität Marburg 2020
Subjects:
Online Access:PDF Full Text
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Table of Contents: Das Interesse an Nichols-Algebren ging vornehmlich aus der Theorie der punktierten Hopf-Algebren hervor. Umgekehrt ist die Klassifikation von Nichols-Algebren mit endlicher Dimension bzw. endlicher Gelfand-Kirillov-Dimension ein wichtiger Schritt für die Klassifizierung punktierter Hopf-Algebren von endlicher Dimension bzw. endlicher Gelfand-Kirillov Dimension unter gewissen Bedingungen. Nichols-Algebren wurden zunächst als Bialgebren von Typ eins betrachtet. Später wurden sie von verschiedenen Autoren charakterisiert. Als besonders zugänglich haben sich Nichols-Algebren von diagonalem Typ erwiesen, die als positiver Anteil von Quantengruppen auftreten. Endlich-dimensionale Nichols-Algebren von diagonalem Typ sind in einer Reihe von Veröffentlichungen klassifiziert worden. Wichtige Merkmale einer Nichols-Algebra B(V ) von diagonalem Typ sind dabei ihr Wurzelsystem und die zugehörige Basis von Produkten von Wurzelvektoren sowie der assoziierte Weyl-Gruppoid. In diesem Kontext wurden folgende Implikationen beobachtet: (1) Ist die Dimension von B(V ) ist endlich, so ist das Wurzelsystem endlich. (2) Ist das Wurzelsystem endlich, so ist die Gelfand-Kirillov-Dimension endlich. Dabei ist bekannt, dass unter gewissen Bedingungen auch die Umkehrung von (1) zutrifft. Es wird vermutet, dass die Umkehrung von (2) im Allgemeinen auch gilt. Diese Vermutung hat in den vergangenen Jahren zunehmend Aufmerksamkeit erhalten. Insbesondere wurde gezeigt, dass sie für Rang zwei Nichols-Algebren von diagonalem Typ über einem Körper der Charakteristik null sowie darauf aufbauend für Nichols-Algebren über abelschen Gruppen zutrifft. Ziel dieser Arbeit ist es, zu beweisen, dass diese Aussage für Rang zwei Nichols-Algebren von diagonalem Typ über einem beliebigen Körper gilt. Dabei ist zu beachten, dass es über beliebigen Körpern zusätzliche Beispiele von Nichols-Algebren mit endlichem Wurzelsystem gibt. Insbesondere existieren Beispiele mit einfachen Wurzeln a mit X(a,a) = 1, wobei X den zugehörigen Bicharakter bezeichnet. Solche Wurzeln implizieren unendliche Gelfand-Kirillov Dimension über Körpern von Charakteristik null. Daher werden neue Hilfsmittel benötigt, um die Aussage für beliebige Körper zu zeigen. Das Resultat für Charakterstik null wird dabei neu bewiesen.