Besov Regularity of Solutions to Navier-Stokes Equations

This thesis is concerned with the regularity of solutions to Navier-Stokes and Stokes equation on domains with point singularities, namely polyhedral domains contained in R3 and general bounded Lipschitz domains in Rd, d ≥ 3 with connected boundary. The Navier-Stokes equations provide a mathemati...

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Main Author: Eckhardt, Frank
Contributors: Dahlke, Stephan (Prof. Dr.) (Thesis advisor)
Format: Dissertation
Language:English
Published: Philipps-Universität Marburg 2016
Mathematik und Informatik
Subjects:
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Table of Contents: In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit der Regularität von Lösungen zu Navier-Stokes- und Stokes-Gleichungen auf Gebieten mit Randsingularitäten. Mit Hilfe der Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich die Ausbreitung von Fluiden mathematisch modellieren. Sie bilden die Grundlage der gesamten Strömungsmechanik und gelten daher als eine der wichtigsten partiellen Differentialgleichungen überhaupt. Wir betrachten stationäre, d.h. zeitunabhängige (Navier-)Stokes-Gleichungen in polyhedralen Gebieten im R3 und in allgemeinen beschränkten Lipschitz-Gebieten mit zusammenhängenden Rand im Rd, d ≥ 3. Wir bestimmen die Regularität s in der Skala von Besov-Räumen BsƬ (LƬ (Ω))d, 1/Ƭ = s/d + 1/2. Diese Skala ist die sogenannte Adaptivitäts-Skala. Der Glattheitsparameter s bestimmt die Konvergenzordnung von bestimmten adaptiven, numerischen Wavelet-Verfahren, sowie von anderen nicht linearen Approximationsmethoden. Die Konvergenzordnung von linearen Verfahren wird dagegen durch die klassische L2-Sobolev-Regularität der Lösung bestimmt. In zahlreichen Arbeiten wurde die Besov-Regularität in der Adaptivitäts-Skala von Lösungen verschiedener Operatorgleichunge/partiellen Differentialgleichungen untersucht. Dabei wurden Resultate über gewichtete Sobolev-Regularität verwendet, um die Koeffzienten einer Wavelet-Entwicklung der Lösung geeignet abzuschätzen. Diese Beweisidee beruht auf der Charakterisierung der Besov-Räume durch Wavelets. Diese Technik wurde in dieser Arbeit verwendet, um Besov-Regularität für die Lösungen der (Navier-)Stokes-Gleichungen auf polyhedralen Gebieten, sowie der Stokes-Gleichung auf Lipschitz-Gebieten zu beweisen. Um Besov-Regularität für die Navier-Stokes-Gleichung auf Lipschitz-Gebieten zu etablieren, wurde ein Fixpunktargument angewendet: Die Navier-Stokes-Gleichung lässt sich als Fixpunktproblem formulieren, so dass sich die nicht lineare Gleichung als lineare Gleichung mit modifzierte rechter Seite auffassen lässt. Die Regularitätsaussagen folgen dann aus den entsprechenden Aussagen für die Stokes-Gleichung. In dem ersten Paper "Besov regularity for the Stokes and the Navier-Stokes system in polyhedral domains" haben wir die Regularität der Lösungen der stationären (Navier-) Stokes-Gleichungen in polyhedralen Gebieten untersucht. Unter Zuhilfenahme von gewichteten Sobolev-Regularitätsaussagen für die Lösung konnten wir Besov-Regularitätsresultate beweisen, die zeigen, dass die Besov-Regularität die Sobolev-Regularität der Lösung tatsächlich übertrifft. In der zweiten Arbeit "Besov Regularity for the Stationary Navier-Stokes Equation on Bounded Lipschitz Domains" haben wir die Besov-Regularität der Lösung von (Navier-)Stokes-Gleichungen in beschränkten Lipschtz-Gebieten untersucht. Genau wie bei der Untersuchung in polyhedralen Gebieten, wurden hier gewichtete Sobolev-Abschätzungen verwendet, um Besov-Regularität der Lösung für die Stokes-Gleichung zu zeigen. Um entsprechende Aussagen für die Navier-Stokes-Gleichung zu zeigen, haben wir den Banach'schen Fixpunktsatz angewandt. Um die Existenz eines Fixpunktes garantieren zu können, sind Bedingungen an das Gebiet, die Norm der rechten Seite, sowie der Reynolds-Zahl zu stellen.