Mathematik und Informatik Mathematics Mathematik Sei M eine geschlossene zusammenhängende Riemann'sche Mannigfaltigkeit. Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit entwickeln wir einen Funktionalkalkül für h-abhängige Funktionen im Rahmen der semiklassischen Pseudodifferentialoperatoren. Mit Hilfe der Ergebnisse lassen sich semiklassische Spurformeln mit Restgliedabschätzungen beweisen, die gut dafür geeignet sind, Bereiche im Spektrum mit einer Breite der Ordnung h^d zu untersuchen, wobei 0 [ d [ 1/2. Der zweite Teil der Arbeit behandelt die Spektraltheorie und Quantenergodizität von Schrödinger-Operatoren auf M unter der Voraussetzung, dass das zugrunde liegende Hamilton'sche System gewisse Symmetrien besitzt. Genauer gesagt beweisen wir eine verallgemeinerte äquivariante Version des semiklassischen Weyl-Gesetzes mit Restgliedabschätzung unter der Annahme, dass auf M eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe G isometrisch und effektiv wirkt. Wir verwenden dazu einen Satz aus dem ersten Teil dieser Arbeit sowie kürzlich erzielte Ergebnisse zu singulären äquivarianten Asymptotiken, und leiten daraus ein äquivariantes Quantenergodizitätstheorem ab, sofern der Symmetrie-reduzierte Hamilton'sche Fluss auf dem Hauptstratum der singulären symplektischen Reduktion von M ergodisch ist. Unter anderem erhalten wir eine äquivariante Version des Shnirelman-Zelditch-Colin-de-Verdiere-Theorems, sowie einen darstellungstheoretischen Gleichverteilungssatz. In dem Fall, dass M/G eine Orbifaltigkeit ist, erzielte Kordyukov vor Kurzem ähnliche Ergebnisse. Ist G die triviale Gruppe, so erhalten wir die bekannten klassischen Resultate. Publikationsserver der Universitätsbibliothek Marburg Universitätsbibliothek Marburg https://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2015/0418/cover.png Geometrische Analysis 2015-12-23 Semiclassical Analysis of Schrödinger Operators on Closed Manifolds and Symmetry Reduction spectral theory Fachbereich Mathematik und Informatik Semiklassische Analysis von Schrödingeroperatoren auf geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten und Symmetriereduktion https://doi.org/10.17192/z2015.0418 Schrödinger operator Küster, Benjamin Küster Benjamin Spektraltheorie monograph doctoralThesis English application/pdf E. B. Dryden, C. S. Gordon, S. J. Greenwald, and D. L. Webb, Asymptotic expansion of the heat kernel for orbifolds., Mich. Math. J. 56 (2008), no. 1, 205–238. A. Hassel, Ergodic billiards that are not quantum unique ergodic, Ann. Math. 171 (2010), 605–618. P. Ramacher, Singular equivariant asymptotics and Weyl's law. 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In the second part of the thesis, we study the spectral and quantum ergodic properties of Schrödinger operators on M in case that the underlying Hamiltonian system possesses certain symmetries. More precisely, if M carries an isometric and effective action of a compact connected Lie group G, we prove a generalized equivariant version of the semiclassical Weyl law with an estimate for the remainder, using a theorem from the first part of this thesis and relying on recent results on singular equivariant asymptotics. We then deduce an equivariant quantum ergodicity theorem under the assumption that the symmetry-reduced Hamiltonian flow on the principal stratum of the singular symplectic reduction of M is ergodic. In particular, we obtain an equivariant version of the Shnirelman-Zelditch-Colin-de-Verdiere theorem, as well as a representation theoretic equidistribution theorem. If M/G is an orbifold, similar results were recently obtained by Kordyukov. When G is trivial, one recovers the classical results. 2015 ths Prof. Dr. Ramacher Pablo Ramacher, Pablo (Prof. Dr.) singuläre symplektische Reduktion