Adaptive Wavelet and Frame Schemes for Elliptic and Parabolic Equations

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit adaptiven Wavelet-Methoden für elliptische und parabolische Randwertprobleme auf polygonalen Gebieten. Um die aufwändige Konstruktion von Wavelet-Basen auf beschränkten Gebieten zu vermeiden, wird die Option untersucht, stattdessen sogenannte Wavelet-Frames zu benutzen. Bei Frames handelt es sich um redundante Funktionensysteme, die trotzdem noch stabile Zerlegungs- und Rekonstruktionsalgorithmen zulassen. Im ersten Teil der Arbeit wird eine Konstruktion sogenannter Gelfand-Frames auf polygonalen Gebieten angegeben, welche auf überlappenden Gebietszerlegungen beruht. Wie bei Wavelet-Basen erlauben auch Gelfand-Frames die Charakterisierung von Funktionenräumen. Der zweite Teil befasst sich mit der Anwendung von Gelfand-Frames bei der adaptiven numerischen Lösung linearer elliptischer Operatorgleichungen. Die Framekoordinatendarstellung der ursprünglichen Operatorgleichung führt auf inexakte Varianten wohlbekannter Iterationsverfahren, deren Konvergenz und Optimalität gezeigt und an numerischen Beispiel illustriert werden kann. Im dritten Teil der Arbeit geht es um die numerische Lösung linearer parabolischer Probleme mit Waveletmethoden. Durch die Struktur der fraglichen Gleichungen ist es naheliegend, zunächst eine Semidiskretisierung in Zeitrichtung durchzuführen. Die hierbei verwendeten linear-impliziten Methoden erzeugen eine Folge linearer Operatorgleichungen, welche dann mit Wavelet-Methoden adaptiv ortsdiskretisiert werden. Die analytischen Eigenschaften von Wavelets können für effiziente Vorkonditionierungsstrategien sowie für die Konvergenz- und Komplexitätsanalyse des Gesamtverfahrens ausgenutzt werden. Die theoretischen Ergebnisse werden an Hand numerischer Beispiele illustriert.