Algebraic Discrete Morse Theory and Applications to Commutative Algebra
In dieser Doktorarbeit verallgemeinern wir die Diskrete Morse Theorie von Forman auf eine algebraische Version, die wir Algebraische Diskrete Morse- Theorie nennen. Ziel der Theorie ist es zu einem gegebenem algebraischem Kettenkomplex freier R-Moduln einen Homotopie-äquivalenten Kettenkomplex...
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| Contributors: | |
| Format: | Doctoral Thesis |
| Language: | English |
| Published: |
Philipps-Universität Marburg
2005
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| Subjects: | |
| Online Access: | PDF Full Text |
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| Summary: | In dieser Doktorarbeit verallgemeinern wir die Diskrete Morse Theorie von
Forman auf eine algebraische Version, die wir Algebraische Diskrete Morse-
Theorie nennen. Ziel der Theorie ist es zu einem gegebenem algebraischem
Kettenkomplex freier R-Moduln einen Homotopie-äquivalenten Kettenkomplex
zu konstruieren, dessen Ränge in den einzelnen homologischen Graden kleiner
sind. Die Idee unserer Theorie ist es den Komplex als gerichteten Graphen zu
interpretieren, und dann in diesem Graphen nach möglichst großen azyklischen
Matchings zu suchen. Mit Hilfe dieser azyklischen Matchings wird ein
sogenannter Morse-Graph konstruiert und wir beweisen, dass dessen zugehöriger Kettenkomplex dieselbe Homologie wie der Ausgangskomplex hat.
Der Hauptteil der Arbeit besteht aus Anwendungen unserer Theorie in der
Kommutativen Algebra. Wir verwenden unser Verfahren zur Konstruktion von
minimalen multigraduierten freien Auflösungen verschiedener Moduln. In erster
Linie beschäftigen wir uns mit der Konstruktion von minimalen freien
Auflösungen des Restklassenkörpers über Quotientenringen aus dem
(nicht notwendig kommutativen) Polynomring und einem beliebigen Ideal.
Hier bekommen wir für verschiedene Klassen von Ringen neue minimale
Auflösungen des Restklassenkörpers. Unter anderem können wir damit eine
Vermutung von Sturmfels beweisen und ein Resultat von BACH zur Berechnung
der Hochschild-Homologie deutlich verallgemeinern.
Für den Fall, dass der Quotientenring aus einem kommutativen Polynomring und
einem monomialen Ideal gebildet wird sind wir insbesondere an der
Poincare-Betti Reihe interessiert. Bekannt ist, dass in diesem Fall die
Poincare-Betti Reihe eine rationale Funktion ist. Eine konkrete Gestalt war
jedoch bis jetzt nicht bekannt. Mit Hilfe der Algebraischen Diskreten
Morse-Theorie konstruieren wir einen graduierten Vektorraum von dem wir
vermuten, dass er als Vektorraum isomorph zur minimalen Auflösung des Körpers
ist. Da wir die Hilbertreihe dieses Vektorraums ausrechnen können, bekommen
wir eine explizite Gestalt der multigraduierten Poincare-Betti Reihe für
solche Ringe. Unsere Form der Poincare-Betti Reihe präzisiert eine Vermutung
von Charalambous und Reeves.
Wir beweisen unsere Vermutung über die minimale Auflösung des
Restklassenkörpers für verschiedene Klassen von monomialen Ringen.
Da die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen durch eine spezielle Form der
Poincare-Betti Reihe charakterisiert werden kann, bekommen wir mit unserer
Gestalt der Poincare-Betti Reihe neue kombinatorische Kriterien für die
Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen, die nur von den Erzeugern des
herausdividierten Ideals abhängen.
Ein weiterer Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion minimaler
Auflösungen von Borel bzw. p-Borel fixed Idealen. Über Auflösungen von p-Borel
fixed Idealen war bislang sehr wenig bekannt. Wir beweisen die Existenz von
zellulären minimalen Auflösungen für eine neue, relativ große, Klasse von
p-Borel fixed Idealen und geben Formeln für deren Poincare-Betti Reihe
sowie deren Regularität. Diese Formeln verallgemeinern bestehende Resultate.
Zum Schluss werden zwei verwandte Probleme aus der algebraischen Kombinatorik
diskutiert. Das erste Problem beschäftigt sich mit Homologien von nilpotenten
Lie-Algebren und das zweite behandelte Problem ist die Neggers-Stanley
Vermutung über die Unimodalität spezieller Polynome. Für beide Probleme
präsentieren wir einige Resultate und Lösungsansätze für den allgemeinen Fall. |
|---|---|
| Physical Description: | 205 Pages |
| DOI: | 10.17192/z2005.0108 |