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Titel:Yetter-Drinfeld modules over Nichols systems and their reflections
Autor:Wolf, Kevin
Weitere Beteiligte: Heckenberger, István
Veröffentlicht:2022
URI:https://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2022/0119
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2022-01197
DOI: https://doi.org/10.17192/z2022.0119
DDC: Mathematik
Publikationsdatum:2022-05-25
Lizenz:https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Dokument

Schlagwörter:
Nichols-Algebra, Yetter-Drinfeld-Module, Shapovalov-Determinante, Braided monoidal category, Hopf algebra, Yetter-Drinfeld module, Nichols algebra, Shapovalov determinant, Hopf-Algebra, Geflochtene monoidale Kategorie

Summary:
We construct reflection functors for Yetter-Drinfeld modules over Nichols systems and discuss their fundamental properties. We will obtain properties about the geometry of the support of Nichols systems and their Yetter-Drinfeld modules, by looking at iterated reflections. We will also study the maximal subobject of Yetter-Drinfeld modules over Nichols systems and find a special morphism, that we name Shapovalov morphism, whose kernel coincides with this maximal subobject. Moreover, we will use this morphism to characterize properties about the reflections of the Yetter-Drinfeld modules. We calculate an explicit formula of the Shapovalov morphism in the case where the Nichols system is of group type. We will use the formula to calculate its kernel in the components of degree 2 and to ascribe the theory of reflections of Yetter-Drinfeld modules over Nichols systems of diagonal type with the reflection theory of Dynkin diagrams. We will also apply and specify the theory to the Yetter-Drinfeld modules over Nichols systems that are obtained by inducing comodules of the Nichols systems, a construction that is reminiscent of Verma modules in the representation theory of Lie algebras. For Nichols systems of diagonal type we will obtain the result, that such an induced objects irreducibility can be characterized by a polynomial that is given by the positive roots of its Nichols system. This polynomial appeared in previous works and is known as Shapovalov determinant. Finally, we will apply the theory to some specific examples of Nichols algebras of nonabelian group type and to some examples of Nichols algebras of diagonal type.

Zusammenfassung:
Wir werden Spiegelungsfunktoren für Yetter-Drinfeld-Moduln über Nichols-Systemen konstruieren und ihre grundlegenden Eigenschaften diskutieren. Wir erhalten Eigenschaften über die Geometrie des Trägers eines Nichols-Systems und dessen Yetter-Drinfeld-Moduln, indem wir iterierte Spiegelungen anschauen. Außerdem werden wir das maximale Unterobjekt von Yetter-Drinfeld-Moduln über Nichols-Systemen studieren und dabei einen speziellen Morphismus finden, den wir Shapovalov-Morphismus nennen. Der Kern dieses Morphismus stimmt mit dem maximalen Unterobjekt überein. Darüber hinaus können wir den Morphismus benutzen um Eigenschafter über die Spiegelungen der Yetter-Drinfeld-Moduln zu charakterisieren. Wir berechnen eine explizite Fomel für den Shapovalov-Morphismus in dem Fall wo das Nichols-System von beliebigen Gruppentyp ist. Wir benutzen die Formel um den Kern in den Komponenten von Grad 2 zu bestimmen. Außerdem werden wir mithilfe der Formel die Theorie von Yetter-Drinfeld-Moduln über Nichols-Systemen vom diagonalem Typ auf die Spiegelungstheorie von Dynkin-Diagrammen zurückführen. Speziell werden wir die Theorie auch immer wieder für Yetter-Drinfeld-Moduln über Nichols-Systemen anwenden, die man durch das Induzieren von Komoduln des Nichols-Systems erhält. Diese Konstruktion ist sehr ähnlich zur Konstruktion von Verma-Moduln in der Darstellungstheorie von Lie-Algebren. Für Nichols-Systeme vom diagonalem Typ erhalten wir das Resultat, dass die Irreduzibilität solch eines induziertes Objekt durch ein Polynom charakterisiert werden kann, welches sich aus den positiven Wurzeln des Nichols-Systems ergibt. Dieses Polynom tauchte schon in vergangenen Arbeiten auf als Formel für die sognannte Shapovalov-Determinante. Zuletzt werden wir die Theorie auf spezifische Beispiele von Nichols-Algebren anwenden, sowohl vom nicht-abelschen Gruppentyp, als auch vom diagonalem Typ.


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