Publikationsserver der Universitätsbibliothek Marburg

Titel:Variational Optimization of finite Projected Entangled Pair States
Autor:Scheb, Markus
Weitere Beteiligte: Noack, Reinhard (Prof. Dr.)
Veröffentlicht:2021
URI:https://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2021/0111
DOI: https://doi.org/10.17192/z2021.0111
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2021-01111
DDC:530 Physik
Publikationsdatum:2021-04-21
Lizenz:https://rightsstatements.org/vocab/InC-NC/1.0/

Dokument

Schlagwörter:

Summary:
The present dissertation concerns itself with the many body theory of quantum mechanics. In particular, the Hubbard model is examined, which has served as a testing environment for strongly correlated electron systems since the 1960s, and is not completely described despite decades of intense research. Here, the focus is on a strong, repulsive electron-electron interaction, and doping slightly below half-filling. The repulsion between electrons favors antiferromagnetic order, while the presence of holes leads to a frustrated configuration, which can usually not be characterized using perturbative approaches. The reason for examining this particular point in the phase diagram is the conjecture that it is a simplified model of the cuprate superconductors, whose pairing mechanism is not entirely understood despite their discovery in 1986. Countless analytical and numerical methods have been developed to calculate the ground state of this parameter set and other complicated models. The method of this thesis uses a tensor network representation, which can be viewed as a means of data compression for quantum mechanics. The most prominent algorithm in this area is the Density-Matrix Renormalization Group (DMRG), which is a reliable method for the ground state calculation of one-dimensional quantum systems. In this context, the present thesis introduces a prototype for the generalization of the DMRG to two dimensions. This is done by representing the electronic wavefunction as a Projected entangled Pair State (PEPS), whose quantum mechanical entanglement is tailored to the structure of a two-dimensional lattice. The ground state can then be determined through local, variational optimization, which scales linearly with system size. The thesis is structured as follows: First, the iterative diagonalization is outlined (Sec. 2.1), which is used to determine extremal eigenvalues. It is followed by a detailed description of symmetries within the Hubbard model (Sec. 2.2), since their exploitation is essential for an efficient implementation of tensor networks. Afterwards, the Wigner-Eckart theorem is derived, which is needed for non-abelian symmetries. Chapter 3 concerns itself with quantum mechanical entanglement and how it can be utilized in many body physics. Sec. 3.1 presents the AKLT model, which serves as a motivation for tensor network representations of ground states. Subsequently, the von Neumann entropy is elucidated (Sec. 3.2), which quantifies the entanglement inside of wavefunctions. Sec. 3.3 makes a connection to physical systems by describing several models and their scaling of the entropy. Chapter 4 explains elementary tensor operations that take both abelian and non-abelian symmetries into account. The emphasis is less on mathematical rigor than on intelligibility and pragmatism. Mechanisms are often explained using examples, assuming the general case is self-explaining. First, tensors are defined in general (Sec. 4.1), in particular, how their symmetries are taken advantage of and how to store them. There follows an explanation of the permutation of indices (Sec. 4.2), the pairwise contraction of tensors (Sec. 4.3), the fusion and splitting of indices (Sec. 4.4), and the factorization of a tensor into two (Sec. 4.5). Finally, we present an efficient method for contracting multiple tensors, which usually poses the main bottleneck in tensor-network algorithms. Chapter 5 delivers a compact explanation of the DMRG in the language of matrix product states. Although the DMRG itself is not the goal of this research project, it is worthwhile to describe its general principles, before moving on to PEPS. Multiple concepts can then be used as a stepping stone to treating two dimensions. Sec. 6.1 finally takes on PEPS itself. Since only open boundary conditions are considered, we have to consider finite PEPS (fPEPS), as opposed to iPEPS, which is fundamentally based on translational invariance. Subsequently, a scheme that adapts the representation of a local Hamiltonian to the topology of a PEPS is presented (Sec. 6.2). This is followed by a detailed explanation of how to determine expectation values approximately (Sec. 6.3), which is one of the central difficulties of the algorithm. Sec. 6.4 finally puts all of the pieces together to define the overarching algorithm for the variational optimization of fPEPSs as used to determine ground states of two-dimensional quantum systems. In Chapter 7, the fPEPS algorithm is applied to the two-dimensional Hubbard model. First, the influence of the approximate calculation of expectation values is investigated and the error is quantified. Afterwards, a few test simulations are conducted on 3x3 and 8x8 lattices. The algorithm yields a stable convergence of the energy and local charge and spin densities. The local observables resemble those of previous publications qualitatively. However, our version of fPEPS is not yet able to reproduce ground state energies up to more than a couple of significant figures due to some technical subtleties. Finally, Chapter 8 discusses the development status of the optimization in detail, what improvements are pending, and what physical phenomena could be analyzed in the future.

Zusammenfassung:
Die zugrundeliegende Dissertation ist im Bereich der Vielteilchentheorie der Quantenmechanik angesiedelt. Im Speziellen wird das Hubbard Modell betrachtet, welches seit den 1960er Jahren als Testumgebung für stark korrelierte Elektronensysteme dient und trotz mehrerer Jahrzehnte intensiver Forschung immer noch nicht vollständig beschrieben ist. Von besonderem Interesse ist dabei eine starke, repulsive Elektron-Elektron Wechselwirkung und eine Dotierung, die etwas unterhalb halber Füllung liegt. Die Abstoßung zwischen Elektronen begünstigt eine antiferromagnetische Ordnung, während die Anwesenheit von Löchern zu einer frustrierten Konfiguration führt, die nur bedingt mithilfe störungstheoretischer Methoden berechnet werden kann. Grund für das Interesse an diesem Punkt im Phasendiagramm ist die Vermutung, dass es sich um eine vereinfachte Abbildung der Cuprat Supraleiter handelt, deren Paarungsmechanismus trotz ihrer Entdeckung im Jahr 1986 immer noch nicht vollständig erfasst ist. Zahlreiche analytische und numerische Methoden wurden entwickelt, um die Grundzustandsenergie dieses Parametersatzes und anderer anspruchsvoller Modelle zu berechnen. Die Methode dieser Arbeit fällt in das Gebiet der Tensor Netzwerke, welche als eine Art Datenkompression quantenmechanischer Wellenfunktionen aufgefasst werden können. Der prominenteste und am weitesten fortgeschrittene Algorithmus dieses Gebietes ist die Dichtematrix - Renormierungsgruppe (DMRG), welche eine extrem zuverlässige Methode zur Grundzustandsberechnung eindimensionaler Quantensysteme ist. In diesem Kontext wird hier ein Prototyp für die Verallgemeinerung der DMRG auf zwei Dimensionen vorgestellt. Dafür wird die Darstellung der Wellenfunktion als Projected Entangled Pair State ("Projizierter verschränkter Paar Zustand"), oder einfach PEPS, genutzt, dessen quantenmechanische Verschränkung auf die Struktur eines zweidimensionalen Gitters maßgeschneidert ist. Eine variationelle Optimierung erfolgt dann lokal und skaliert linear mit der Systemgröße. Die Arbeit ist wie folgt gegliedert: Kapitel 1 ordnet das physikalische Problem und die numerische Methode in den historischen Kontext ein. Als nächstes trifft Kapitel 2 mehrere Vorbereitungen. Zuerst wird die iterative Diagonalisierung skizziert (Kapitel 2.1), die an sich bereits ein Algorithmus zur Berechnung extremaler Eigenwerte ist und den Kern der variationellen Optimierung darstellt. Es folgt eine ausführliche Beschreibung der Symmetrien des Hubbard Modells (Kapitel 2.2), da deren Ausnutzung essentiell für die effiziente Implementierung von Tensor Netzwerken ist. Schließlich wird das Wigner Eckart Theorem hergeleitet (Kapitel 2.3), das für nicht-Abelsche Symmetrien benötigt wird. Kapitel 3 geht auf die quantenmechanische Verschränkung ein und wie diese innerhalb der Vielteilchentheorie ausgenutzt werden kann. Kapitel 3.1 präsentiert das AKLT Modell, welches als Motivation zur Tensor-Netzwerk-Darstellung von Grundzuständen dient. Anschließend wird die Von-Neumann Entropie erklärt (Kapitel 3.2), die die Verschränkung innerhalb einer Wellenfunktion quantifiziert. Kapitel 3.3 nimmt Bezug auf physikalische Systeme, indem die Skalierung der Entropie mehrerer Modelle aufgezählt wird. In Kapitel 4 werden die elementaren Bausteine eines Tensor-Kalküls erläutert, das sowohl Abelsche als auch nicht-Abelsche Symmetrien berücksichtigt. Die Betonung liegt dabei weniger auf mathematischer Vollständigkeit oder Präzision, als auf Verständlichkeit und Pragmatismus. Oft werden Mechanismen nur für Beispiele erklärt, mit der Unterstellung, das der allgemeine Fall selbsterklärend ist. Zuerst werden Tensoren im Allgemeinen definiert (Kapitel 4.1), wie die Symmetrien auszunutzen sind und wie sie am besten abzuspeichern sind. Es folgt eine Erläuterung der Permutation der Indizes (Kapitel 4.2), der paarweisen Kontraktion zweier Tensoren (Kapitel 4.3), der Zusammenführung und Trennung von Indizes (Kapitel 4.4) und der Faktorisierung eines Tensors in zwei (Kapitel 4.5). Zum Schluss wird ein effizientes Verfahren zur Kontraktion mehrerer Tensor präsentiert (Kapitel 4.6), was in der Regel den Flaschenhals von Tensor-Netzwerk Algorithmen darstellt. Kapitel 5 als ganzes liefert eine kompakte Erklärung der DMRG in der Sprache der Matrix-Produkt Zustände. Obwohl die DMRG selbst nicht Ziel dieser Forschungsarbeit ist, lohnt es sich aus rein didaktischer Sicht, diese zuerst im Prinzip zu verstehen, bevor man sich mit PEPS beschäftigt. Mehrere Konzepte können dann als Sprungbrett zu zwei Dimensionen genommen werden. Kapitel 6.1 geht endlich auf PEPS selbst und deren Definition ein. Da nur offene Randbedingungen betrachtet werden, müsste man genauer von fPEPS (finite PEPS) reden, in Abgrenzung zu iPEPS (infinite PEPS), welche Translationsinvarianz berücksichtigen (siehe Titel der Arbeit). Als nächstes wird ein Schema präsentiert, das die Darstellung eines lokalen Hamiltonians auf die Topologie des PEPSs anpasst (Kapitel 6.2). Anschließend wird im Detail erläutert, wie Erwartungswerte innerhalb des PEPS - Formalismus approximativ zu berechnen sind (Kapitel 6.3), was eine zentrale Schwierigkeit darstellt. Kapitel 6.4 fügt schließlich alle Bausteine dieser Arbeit zusammen und definiert die variationelle Optimierung eines PEPS zur Grundzustandsberechnung zweidimensionaler Quantensysteme. In Kapitel 7 wird der vorgestellte Algorithmus auf das zweidimensionale Hubbard Modell angewandt. Dabei wird zuerst der Einfluss der approximativen Berechnung von Erwartungswerten auf die variationelle Optimierung untersucht und der Fehler quantifiziert. Zum Schluss werden ein paar Testsimulationen für ein 3x3 und ein 8x8 Gitter durchgeführt. Der Algorithmus liefert eine stabile Konvergenz der Energie und lokale Ladungs- und Spindichten, die qualitativ mit denen aus vorhergehenden Publikationen übereinstimmen. Allerdings ist er in seiner aktuellen Version aufgrund einiger technischer Subtilitäten noch nicht in der Lage, Grundzustandsenergien bis auf mehrere signifikante Stellen zu reproduzieren. Kapitel 8 geht schließlich im Detail auf den Entwicklungsstatus der Optimierung ein, welche Verbesserungen noch zu implementieren sind und welche physikalischen Phänomene im Anschluss analysierbar wären.


* Das Dokument ist im Internet frei zugänglich - Hinweise zu den Nutzungsrechten