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Titel:The p-Poisson Equation: Regularity Analysis and Adaptive Wavelet Frame Approximation
Autor:Hartmann, Christoph
Weitere Beteiligte: Dahlke, Stephan (Prof. Dr.)
Veröffentlicht:2017
URI:https://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2018/0245
DOI: https://doi.org/10.17192/z2018.0245
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2018-02453
DDC: Mathematik
Titel(trans.):Die p-Poisson-Gleichung: Regularitätsanalyse und adaptive Wavelet-Frame-Approximation
Publikationsdatum:2018-09-24
Lizenz:https://rightsstatements.org/vocab/InC-NC/1.0/

Dokument

Schlagwörter:
Mathematik, adaptive wavelet method, Regularität, Besov space, Adaptives, numerical analysis, Numerische Mathematik, regularity theory, p-Poisson-Gleichung, nonlinear approximation, Quasilineare Differentialgleichung, Wavelet, p-Poisson equation, Besov-Raum, Regularitätstheorie, mathematics, adaptive Wavelet-Verfahren, Nichtlineare Approximation

Summary:
This thesis is concerned with an important class of quasilinear elliptic equations: the p-Poisson equations -div(|\nabla u|^{p-2} \nabla u) = f in Ω, where 1 < p < infty and Ω denotes a bounded Lipschitz domain in R^d, d>=2. Equations of this type appear, inter alia, in various problems in continuum mechanics, for instance in the mathematical modelling of non-Newtonian fluids. Furthermore, the p-Poisson equations possess a certain model character for more general quasilinear elliptic problems. The central aspect of this thesis is the regularity analysis of solutions u to the p-Poisson equation in the so-called adaptivity scale B^σ_τ(L_τ(Ω)), 1/τ = σ/d + 1/p, σ > 0, of Besov spaces. It is well-known that the smoothness parameter σ determines the approximation rate of the best n-term wavelet approximation, and hence provides information on the maximal convergence rate of certain adaptive numerical wavelet methods. To derive Besov regularity estimates for solutions to the p-Poisson equation, two approaches are pursued in this work. The first approach makes use of the fact that under appropriate conditions the solutions to the p-Poisson equation admit certain higher regularity in the interior of the domain, in the sense that they are locally Hölder continuous. In general, the Hölder semi-norms may explode as one approaches the boundary of the domain, but this singular behavior can be controlled by some power of the distance to the boundary. It turns out that the combination of global Sobolev regularity and locally weighted Hölder regularity can be used to derive Besov smoothness in the adaptivity scale for solutions to the p-Poisson equation. The results of the first approach are stated in two steps. At first, a general embedding theorem is proved, which says that the intersection of a classical Sobolev space with a Hölder space having the above mentioned properties can be embedded into certain Besov spaces in the adaptivity scale. The proof of this result is based on extension arguments in connection with the characterization of Besov spaces by wavelet expansion coefficients. Subsequently, it is verified that in many cases the solutions u to the p-Poisson equation indeed satisfy the conditions of the embedding theorem, so that its application yields the desired regularity result. As it is shown, in many cases the Besov smoothness σ of the solution is significantly higher than its Sobolev smoothness, so that the development of adaptive schemes for the p-Poisson problem is completely justified. It is worthwhile noting that this universal approach is applicable for the general class of Lipschitz domains. The aim of the second approach is to make a first step in improving some of the derived Besov regularity results for solutions on polygonal domains. To this end the regularity is examined in a neighborhood of the corners of the domain, since generally the critical singularities of the solutions occur there. As it is shown, this approach leads to regularity assertions which are – in a local sense – indeed stronger in some cases than those derived with the first approach. The proofs are based on known results on the singular expansion of the solution in a neighborhood of a conical boundary point, as well as on embeddings of the intersection of Babuska-Kondratiev spaces K^l_{p,a}(Ω) with certain Besov spaces into the adaptivity scale of Besov spaces. As it is shown, in some cases the solutions to the p-Poisson equation admit arbitrary high weighted Sobolev regularity l in a neighborhood of the corners, and hence arbitrary high Besov regularity σ. Because of this fact the borderline case of this embedding for l equal infinity is analyzed in addition. It is shown that the resulting Fréchet spaces are continuously embedded into the corresponding F-spaces. It is worth mentioning that by these embeddings – independent of the p-Poisson setting – universal functional analytical tools are provided. The second central issue of this thesis is the numerical solution of the p-Poisson equation for 1 < p < 2. In this context, the focus is put on the implementation and numerical testing of a relaxed Kačanov-type iteration scheme for the approximate solution of the p-Poisson equation with homogeneous Dirichlet boundary conditions. For the numerical solution of the occurring linear elliptic subproblems an adaptive wavelet frame method is used. The resulting algorithm is studied in a series of numerical tests. Here, it turns out that in practice the implemented algorithm shows a stable convergence behavior.

Zusammenfassung:
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer speziellen Klasse von quasilinearen elliptischen Differentialgleichungen: den p-Poisson-Gleichungen -div(|\nabla u|^{p-2} \nabla u) = f in Ω, wobei 1 < p < infty und Ω ein beschränktes Lipschitz-Gebiet in R^d, d>=2, bezeichnet. Gleichungen dieses Typs kommen unter anderem bei verschiedenen Problemen der Kontinuumsmechanik vor, so etwa bei der mathematischen Modellierung von nichtnewtonschen Fluiden. Darüber hinaus besitzt die p-Poisson-Gleichung einen gewissen Modellcharakter für allgemeinere quasilineare elliptische Probleme. Zentraler Aspekt dieser Arbeit ist die Analyse der Regularität von Lösungen u der p-Poisson-Gleichungen in der sogenannten Adaptivitätsskala B^σ_τ(L_τ(Ω)), 1/τ = σ/d + 1/p, σ > 0, von Besov-Räumen. Es ist bekannt, dass der Glattheitsparameter σ die Approximationsrate der besten n-term Wavelet-Approximation bestimmt, und somit Aufschluss gibt über die maximale Konvergenzrate bestimmter adaptiver numerischer Wavelet-Verfahren. Um Besov-Regularitäts-Abschätzungen für Lösungen der p-Poisson-Gleichung herzuleiten, werden in dieser Arbeit zwei Ansätze verfolgt. Der erste Ansatz macht von der Tatsache Gebrauch, dass die Lösungen der p-Poisson-Gleichung unter gewissen Voraussetzungen eine höhere Regularität im Innern des Gebiets besitzen, in dem Sinne, dass sie lokal Hölder-stetig sind. Dabei können im Allgemeinen bei Annäherung an den Gebietsrand die lokalen Hölder-Seminormen explodieren, jedoch kann dieses singuläre Verhalten durch eine gewisse Potenz des Abstandes zum Gebietsrand kontrolliert werden. Es stellt sich heraus, dass die Kombination von globaler Sobolev-Glattheit und lokaler gewichteter Hölder-Regularität dazu verwendet werden kann, um Besov-Glattheit in der Adaptivitätsskala für die Lösungen der p-Poisson-Gleichung nachzuweisen. Die Resultate des ersten Ansatzes werden in zwei Schritten dargelegt. Zunächst wird ein allgemeines Einbettungstheorem bewiesen, welches besagt, dass der Schnitt eines klassischen Sobolev-Raums mit einem Hölder-Raum mit den oben beschriebenen Eigenschaften in gewisse Besov-Räume in der Adaptivitätsskala eingebettet werden kann. Der Beweis dieses Einbettungs-Theorems beruht auf Fortsetzungsargumenten in Verbindung mit der Charakterisierung von Besov-Räumen mittels Wavelet-Entwicklungskoeffizienten. Im Anschluss wird verifiziert, dass in vielen Fällen die Lösungen u der p-Poisson-Gleichung in der Tat die Voraussetzungen des Einbettungs-Theorems erfüllen, so dass seine Anwendung das gewünschte Regularitätsresultat liefert. Wie gezeigt wird, ist in vielen Fällen die Besov-Glattheit σ deutlich höher als die Sobolev-Glattheit der Lösung, so dass die Entwicklung von adaptiven Verfahren für das p-Poisson-Problem gerechtfertigt ist. Es sei angemerkt, dass dieser universelle Ansatz für die allgemeine Klasse von Lipschitz-Gebieten anwendbar ist. Das Ziel des zweiten Ansatzes ist es, einen ersten Schritt zur Verbesserung einiger der hergeleiteten Besov-Regularitäts-Ergebnisse für Lösungen auf polygonalen Gebieten zu machen. Hierzu wird die Regularität in einer Umgebung der Gebietsecken untersucht, da gewöhnlich die kritischen Singularitäten von Lösungen dort auftreten. Wie gezeigt wird führt dieser Ansatz zu Regularitätsaussagen, welche - in einem lokalen Sinn - in einigen Fällen stärker sind als jene mittels des ersten Ansatzes hergeleiteten. Die Beweise basieren auf bekannten Resultaten über die singuläre Entwicklung der Lösung u in einer Umgebung eines konischen Randpunktes, sowie auf Einbettungen von Babuska-Kondratiev-Räumen K^l_{p,a}(Ω) geschnitten mit gewissen Besov-Räumen in die Adaptivitätsskala von Besov-Räumen. Wie gezeigt wird, besitzen in einigen Fällen die Lösungen der p-Poisson-Gleichung sogar beliebig hohe gewichtete Sobolev-Regularität l in einer Umgebung der Ecken, und folglich beliebig hohe Besov-Regularität σ. Aufgrund dieser Tatsache wird zusätzlich der Grenzfall dieser Einbettungen für l gleich Unendlich analysiert. Es wird gezeigt, dass die resultierenden Fréchet-Räume stetig in die entsprechenden F-Räume eingebettet sind. Hierbei ist erwähnenswert, dass mit den bewiesenen Einbettungen – unabhängig vom p-Poisson-Setting - universelle funktionalanalytische Tools bereitgestellt werden. Das zweite zentrale Thema dieser Arbeit ist die numerische Lösung der p-Poisson-Gleichung für 1 < p < 2. Gegenstand ist hier die Implementierung sowie das numerische Testen eines relaxierten Iterationsverfahrens vom Kačanov-Typ zur approximativen Lösung der p-Poisson-Gleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen. Hierbei wird für die numerische Lösung der auftretenden linearen elliptischen Teilprobleme ein adaptives Wavelet-Frame-Verfahren verwendet. Der resultierende Algorithmus wird in einer Reihe von numerischen Tests untersucht. Hierbei zeigt sich, dass der implementierte Algorithmus vom Kačanov-Typ in der Praxis ein stabiles Konvergenzverhalten aufweist.


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