Extremal Spectral Dynamics and a Fractal Theory for Simplicial Complexes

Das Ziel dieser Arbeit ist die Erforschung spektraler Asymptotiken simplizialer Geometrien. Wir assoziieren kombinatorische und Differential-Laplace-Operatoren zu Simplizialkomplexen und beschreiben bestimmte Asymptotiken ihrer Spektren. Zunächst betrachten wir die Änderung des Spektrums eines kombinatorischen Laplace- Operators unter einer bestimmten Klasse von Unterteilungen und zeigen für diese einen universellen Grenzwertsatz. Universalität bedeutet in diesem Fall, dass das Grenzspektrum keine spektrale Information über den Ausgangskomplex enthält. Es hängt also nur von der Dimension des Ausgangskomplexes und der verwendeten Unterteilung ab. Wir werden außerdem eine explizite Berechnung eines solchen Grenzwertes für ein bestimmtes Beispiel einer Unterteilung durchführen, welche mit der baryzentrischen Unterteilung verwandt ist. Danach arbeiten wir bestimmte Obstruktionen zur Anwendung dieses Verfahrens auf die baryzentrische Unterteilung heraus. Wir werden sehen, dass die Unterteilung schwerer zugänglich ist, wenn sie nicht- trivial auf niederdimensionalen Seiten wirkt. Zuletzt geben wir ein Beispiel einer Unterteilung von hoher Symmetrie an, für welche wir das Spektrum berechnen können obwohl sie nicht-trivial auf niederdimensionalen Seiten wirkt. Desweiteren stellen wir eine duale Beziehung zur Fraktaltheorie her und definieren eine auf Graph-Sequenzen basierende Definition eines Fraktals welche Unterteilung von Simplizialkomplexen dualisiert. Am Ende präsentieren wir offene Fragen bezüglich der Natur dieser Grenzfunktion und ihrer Beziehung zu dem zugrundeliegenden Fraktal. Im zweiten Teil dieser Arbeit assoziieren wir zu einem Simplizialkomplex eine Geometrie (welche nicht notwendigerweise in einem euklid'schen Raum einbettbar sein muss) und zeigen, dass es einen natürlichen Differential-Laplace-Operator auf dieser Geometrie gibt. Diese Komplexe können genutzt werden, um dünne Strukturen um ihre Geometrie zu modellieren. Da dies ein höherdimensionales Analogon zu Quantengraphen darstellt, werden wir diese Quantenkomplexe nennen. Dünne Strukturen über solch einen Komplex erlauben es uns solche Systeme mit einer höheren Anzahl an nicht-dünnen Dimensionen zu modellieren. Wir zeigen Verallgemeinerungen von Abschätzungen welche im Fall von Quantengraphen verwendet werden um eine spektrale Asymptotik dieser dünnen Strukturen gegen den Differential-Laplace-Operator der zugrundeliegenden kombinatorischen Struktur zu beweisen. Anschließend formulieren wir offene Fragen bezüglich der Relation zwischen dem Differential-Laplace-Operator des Komplexes und dem Hodge-Laplace-Operator der zugehörigen dünnen Struktur.