Homogeneity and Inhomogeneity of Sasakian Geometries

Wir untersuchen homogene sowie inhomogene Mannigfaltigkeiten mit verschiedenen Sasakischen Geometrien. Zunächst geben wir einen neuen und anschaulicheren Beweis für die Klassifikation der homogenen 3-Sasaki-Mannigfaltigkeiten, welche ursprünglich von Boyer, Galicki und Mann [BGM] bewiesen wurde. Dabei konstruieren wir eine explizite Bijektion zwischen einfach zusammenhängenden homogenen 3-Sasaki-Mannigfaltigkeiten und einfachen komplexen Lie-Algebren mithilfe der Theorie der Wurzelsysteme. Diese Ergebnisse liefern zudem eine alternative Herleitung für die Klassifikation der homogenen positiven quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeiten von Alekseevskii [Alek]. Anschließend wenden wir ähnliche Techniken auf entartete 3-(α, δ)-Sasaki-Mannigfaltigkeiten an, um die Anzahl der homogenen Räume mit dieser Geometrie einzugrenzen. Wir beweisen, dass diese Kategorie keine nicht-trivialen kompakten Beispiele enthält sowie genau eine Familie von nilpotenten Lie-Gruppen, nämlich die quaternionischen Heisenberg-Gruppen. Als Kontrast hierzu präsentieren wir eine Methode zur Konstruktion von entarteten 3-(α, δ)-Sasaki-Mannigfaltigkeiten als gewisse T^3-Bündel über Hyperkähler-Mannigfaltigkeiten mit integralen Kähler-Klassen, ähnlich dem berühmten Boothby-Wang-Bündel [BW]. Die auf diese Weise erhaltenen Mannigfaltigkeiten sind notwendigerweise inhomogen und wir entwickeln ein Verfahren, um zu quantifizieren ,,wie weit entfernt von Homogenität" sie sind. Zu diesem Zweck nutzen wir, dass Sasakische Geometrien stets mit der sogenannten charakteristischen Blätterung versehen sind, und entwickeln eine Verallgemeinerung der berühmten Bochner-Technik für Blätterungen [Boch]. Im Nachhinein stellte sich heraus, dass diese Bochner-Technik für Blätterungen auch aus bereits bekannten Resultaten in dem Artikel [HR] folgt, aber die Anwendungen auf Sasakische Geometrien sind neu.