PDE-Constrained Equilibrium Problems under Uncertainty: Existence, Optimality Conditions and Regularization

In dieser Arbeit werden PDE-beschränkte Gleichgewichtsprobleme unter Unsicherheiten analysiert. Im Detail diskutieren wir eine Klasse von risikoneutralen verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblemen sowie eine Klasse von risikoaversen Nash Gleichgewichtsproblemen. Sowohl für die risikoneutralen PDE-beschränkten Optimierungsprobleme mit punktweisen Zustandsschranken als auch für die risikoneutralen verallgemeinerten Nash Gleichgewichtsprobleme wird die Existenz von Lösungen beziehungsweise Nash Gleichgewichten bewiesen und Optimalitätsbedingungen hergeleitet. Die Betrachtung von Ungleichheitsbedingungen an den stochastischen Zustand führt in beiden Fällen zu Komplikationen bei der Herleitung der Lagrange-Multiplikatoren. Nur durch höhere Regularität des stochastischen Zustandes können wir auf die bestehende Optimalitätstheorie für konvexe Optimierungsprobleme zurückgreifen. Die niedrige Regularität des Lagrange-Multiplikators stellt auch für die numerische Lösbarkeit dieser Probleme ein große Herausforderung dar. Wir legen den Grundstein für eine erfolgreiche numerische Behandlung risikoneutraler Nash Gleichgewichtsproblem mittels Moreau-Yosida Regularisierung, indem wir zeigen, dass dieser Regularisierungsansatz konsistent ist. Die Moreau-Yosida Regularisierung liefert eine Folge von parameterabhängigen Nash Gleichgewichtsproblemen und der Grenzübergang im Glättungsparameter zeigt, dass die stationären Punkte des regularisierten Problems gegen ein verallgemeinertes Nash Gleichgewicht des ursprünglich Problems schwach konvergieren. Die Theorie legt also nahe, dass auf der Moreau-Yosida Regularisierung eine numerische Methode aufgebaut werden kann. Darauf aufbauend werden Algorithmen vorgeschlagen, die aufzeigen, wie risikoneutrale PDE-beschränkte Optimierungsprobleme mit punktweisen Zustandsschranken und risikoneutrale PDE-beschränkte verallgemeinerte Nash Gleichgewichtsprobleme gelöst werden können. Für die Modellierung der Risikopräferenz in der Klasse von risikoaversen Nash Gleichgewichtsprobleme verwenden wir kohärente Risikomaße. Da kohärente Risikomaße im Allgemeinen nicht glatt sind, ist das resultierende PDE-beschränkte Nash Gleichgewichtsproblem ebenfalls nicht glatt. Daher glätten wir die kohärenten Risikomaße mit Hilfe einer Epi-Regularisierungstechnik. Sowohl für das ursprüngliche Nash Gleichgewichtsproblem als auch für die geglätteten parameterabhängigen Nash Gleichgewichtsprobleme wird die Existenz von Nash Gleichgewichten gezeigt, sowie Optimalitätsbedingungen hergeleitet. Wir liefern wertvolle Resultate dafür, dass dieser Glättungsansatz sich für die Entwicklung eines numerischen Verfahren eignet, indem wir beweisen können, dass sowohl eine Folge von stationären Punkten als auch eine Folge von Nash Gleichgewichten des epi-regularisierten Problems eine schwach konvergente Teilfolge hat, deren Grenzwert ein Nash Gleichgewicht des ursprünglichen Problems ist.