Yetter-Drinfeld modules over Nichols systems and their reflections

Wir werden Spiegelungsfunktoren für Yetter-Drinfeld-Moduln über Nichols-Systemen konstruieren und ihre grundlegenden Eigenschaften diskutieren. Wir erhalten Eigenschaften über die Geometrie des Trägers eines Nichols-Systems und dessen Yetter-Drinfeld-Moduln, indem wir iterierte Spiegelungen anschauen. Außerdem werden wir das maximale Unterobjekt von Yetter-Drinfeld-Moduln über Nichols-Systemen studieren und dabei einen speziellen Morphismus finden, den wir Shapovalov-Morphismus nennen. Der Kern dieses Morphismus stimmt mit dem maximalen Unterobjekt überein. Darüber hinaus können wir den Morphismus benutzen um Eigenschafter über die Spiegelungen der Yetter-Drinfeld-Moduln zu charakterisieren. Wir berechnen eine explizite Fomel für den Shapovalov-Morphismus in dem Fall wo das Nichols-System von beliebigen Gruppentyp ist. Wir benutzen die Formel um den Kern in den Komponenten von Grad 2 zu bestimmen. Außerdem werden wir mithilfe der Formel die Theorie von Yetter-Drinfeld-Moduln über Nichols-Systemen vom diagonalem Typ auf die Spiegelungstheorie von Dynkin-Diagrammen zurückführen. Speziell werden wir die Theorie auch immer wieder für Yetter-Drinfeld-Moduln über Nichols-Systemen anwenden, die man durch das Induzieren von Komoduln des Nichols-Systems erhält. Diese Konstruktion ist sehr ähnlich zur Konstruktion von Verma-Moduln in der Darstellungstheorie von Lie-Algebren. Für Nichols-Systeme vom diagonalem Typ erhalten wir das Resultat, dass die Irreduzibilität solch eines induziertes Objekt durch ein Polynom charakterisiert werden kann, welches sich aus den positiven Wurzeln des Nichols-Systems ergibt. Dieses Polynom tauchte schon in vergangenen Arbeiten auf als Formel für die sognannte Shapovalov-Determinante. Zuletzt werden wir die Theorie auf spezifische Beispiele von Nichols-Algebren anwenden, sowohl vom nicht-abelschen Gruppentyp, als auch vom diagonalem Typ.