On the Toral Rank Conjecture and Variants of Equivariant Formality
We investigate the topological consequences of actions of compact connected Lie groups. Our focus lies on the \emph{Toral Rank Conjecture}, which states that a suitable space $X$ with an almost free $T^r$-action has to satisfy $\dim H^*(X;\mathbb{Q})\geq 2^r$. We investigate various refinements of f...
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Materyal Türü: | Dissertation |
Dil: | İngilizce |
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Philipps-Universität Marburg
2019
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Online Erişim: | PDF Tam Metin |
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Wir untersuchen topologische Konsequenzen von Wirkungen kompakter und zusammen\-h\"angender Liegruppen. Im Vordergrund steht dabei die \emph{Toral Rank Conjecture} (TRC), welche besagt, dass für einen geeigneten Raum $X$ mit einer fast freien $T^r$-Wirkung stets $\dim_\mathbb{Q}H^*(X;\mathbb{Q})\geq 2^r$ gilt. Dazu studieren wir unterschiedliche Begriffe von Formalität im äquivarianten Kontext. Wir zeigen, dass diese in einigen F\"allen die TRC implizieren und beleuchten die neu entwickelten Konzepte unter verschiedenen Gesichtspunkten: Neben grundlegenden Eigenschaften und möglichen Implikationen, untersuchen wir\linebreak Vererbarkeitseigenschaften unter elementaren topologischen Konstruktionen, sowie mög\-liche Charakterisierungen anhand h\"oherer Operationen auf der \"aquivarianten Kohomologie. Darüber hinaus widmen wir uns dem Problem der Absch\"atzung von $\dim_\mathbb{Q}H^*(X;\mathbb{Q})$ im Sinne der TRC in einem allgemeineren Kontext. Wir konstruieren verschiedene untere Schranken f\"ur die Summe der Bettizahlen von $X$, welche keine zus\"atzlichen Formalit\"atsannahmen ben\"otigen. Diese werden insbesondere auf kohomologisch symplektische R\"aume angewendet.