On Turbulence Transition in Shear Flows

Der Übergang zur Turbulenz in linear stabilen Scherströmungen wie der Rohrströmung und der ebenen Couette Strömung ist seit vielen Jahren Gegenstand aktiver Forschung. Die Anwendung der Theorie dynamischer Systeme hat das Verständnis der zugrundeliegenden physikalischen Mechanismen enorm verbessert. Insbesondere die Suche nach exakten Lösungen der Navier-Stokes Gleichungen, wie Fixpunkten oder periodischen Orbits, liefert Einblicke in die turbulente Dynamik, da diese sogenannten exakten kohärenten Strukturen der turbulenten Bewegung im Zustandsraum zugrundeliegen. Direkte numerische Simulationen (DNS) der Navier-Stokes Gleichungen stellen selbst für einfache Geometrien eine Herausforderung dar, da viele zeitliche und räumliche Skalen aufgelöst werden müssen. Daher bedarf es der Entwicklung effizienter, niedrigdimensionaler Modelle zur weiteren Untersuchung des Turbulenzübergangs. Einfache, grundlegende Modelle bestehen aus einem Wirbel und einem Streak, sowie einer Nichtlinearität. Das sind die Basisbestandteile der transienten Verstärkung von Störungen und des sich selbst erhaltenden Prozesses, die wiederum den Übergang zur Turbulenz verursachen. Wir vergleichen deterministische und Rausch-induzierte Übergänge für ein solches niedrigdimensionales Modell und wir finden qualitativ verschiedene Übergangsszenarien. Ein vielversprechender Ansatz sind quasilineare Näherungen, für die die Nichtlinearität der Navier-Stokes Gleichungen auf einen kleinen Teil reduziert wird, der ausreichend ist, um die turbulente Dynamik aufrechtzuerhalten. Die Geschwindigkeitsfelder werden dazu in zwei Gruppen von Moden zerlegt und nur gewisse Kopplungen zwischen den Gruppen werden beibehalten. Insbesondere werden alle Selbstwechselwirkungen zwischen den Moden der zweiten Gruppe vernachlässigt, bis auf diejenigen, die zurück an die erste Gruppe koppeln. Wir implementieren verschiedene Varianten quasilinearer Näherungen in DNS der ebenen Couette Strömung und untersuchen diese Modellsysteme unter Gesichtspunkten der Theorie dynamischer Systeme, das heißt, wir studieren den ihnen zugrundeliegenden Zustandsraum. Für die in Strömungsrichtung quasilineare Näherung beschreiben die beiden Gruppen das Strömungsfeld mit bzw. ohne Variation in Strömungsrichtung. In den Gleichungen der zweiten Gruppe werden die Selbstwechselwirkungen zwischen in Strömungsrichtung variierenden Moden vernachlässigt. Ein detaillierter Vergleich der quasilinearen Näherung und des vollen Systems ist möglich für die exakten kohärenten Strukturen, die in der ebenen Couette Strömung existieren. Das Verfolgen bekannter Fixpunkte des vollen nichtlinearen Systems in die quasilineare Näherung liefert qualitativ ähnliche Geschwindigkeitsfelder und mittlere Strömungsprofile. Die Bifurkationsdiagramme der Zustände und insbesondere die Bifurkationspunkte werden durch die Näherung gut erfasst. Zudem konnten wir einer Bifurkationskaskade folgen, die ausgehend von einem Fixpunkt des Systems zur Ausbildung eines lokalen chaotischen Attraktors führt, analog zum vollen nichtlinearen System. Eine interessante Eigenschaft dieser in Strömungsrichtung quasilinearen Näherung ist die Tatsache, dass nur einige wenige Moden zu den quasilinearen Zuständen beitragen. Obwohl die Anzahl aktiver Moden beträchtlich reduziert ist, sind viele Eigenschaften des vollen Systems auch im quasilinearen Modell enthalten. Mit zunehmender Reynoldszahl können über instabile Eigenvektoren und Bifurkationen der Zustände weitere Moden aktiv werden. Wenn die zusätzlichen Moden nacheinander auftauchen, zeigen ihre Amplituden ein intermittentes Verhalten. Mit generalisierten quasilinearen Näherungen können wir systematisch zwischen der in Strömungsrichtung quasilinearen Näherung und dem vollen nichtlinearen System interpolieren, indem wir die Anzahl der Moden in der ersten Gruppe vergrößern. Das führt zu einer quantitativen Verbesserung der Ergebnisse der Näherung im Vergleich zum vollen System, aber die Reduzierung der Anzahl aktiver Moden geht dabei verloren. Die Ergebnisse zeigen, dass diese quasilinearen Näherungen die Untersuchung vereinfachter Modellsysteme ermöglichen, die die Eigenschaften des vollen nichtlinearen Systems besitzen und die direkt und systematisch aus den Navier-Stokes Gleichungen abgeleitet werden.