The p-Poisson Equation: Regularity Analysis and Adaptive Wavelet Frame Approximation

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer speziellen Klasse von quasilinearen elliptischen Differentialgleichungen: den p-Poisson-Gleichungen -div(|\nabla u|^{p-2} \nabla u) = f in Ω, wobei 1 < p < infty und Ω ein beschränktes Lipschitz-Gebiet in R^d, d>=2, bezeichnet. Gleichungen dieses Typs kommen unter anderem bei verschiedenen Problemen der Kontinuumsmechanik vor, so etwa bei der mathematischen Modellierung von nichtnewtonschen Fluiden. Darüber hinaus besitzt die p-Poisson-Gleichung einen gewissen Modellcharakter für allgemeinere quasilineare elliptische Probleme. Zentraler Aspekt dieser Arbeit ist die Analyse der Regularität von Lösungen u der p-Poisson-Gleichungen in der sogenannten Adaptivitätsskala B^σ_τ(L_τ(Ω)), 1/τ = σ/d + 1/p, σ > 0, von Besov-Räumen. Es ist bekannt, dass der Glattheitsparameter σ die Approximationsrate der besten n-term Wavelet-Approximation bestimmt, und somit Aufschluss gibt über die maximale Konvergenzrate bestimmter adaptiver numerischer Wavelet-Verfahren. Um Besov-Regularitäts-Abschätzungen für Lösungen der p-Poisson-Gleichung herzuleiten, werden in dieser Arbeit zwei Ansätze verfolgt. Der erste Ansatz macht von der Tatsache Gebrauch, dass die Lösungen der p-Poisson-Gleichung unter gewissen Voraussetzungen eine höhere Regularität im Innern des Gebiets besitzen, in dem Sinne, dass sie lokal Hölder-stetig sind. Dabei können im Allgemeinen bei Annäherung an den Gebietsrand die lokalen Hölder-Seminormen explodieren, jedoch kann dieses singuläre Verhalten durch eine gewisse Potenz des Abstandes zum Gebietsrand kontrolliert werden. Es stellt sich heraus, dass die Kombination von globaler Sobolev-Glattheit und lokaler gewichteter Hölder-Regularität dazu verwendet werden kann, um Besov-Glattheit in der Adaptivitätsskala für die Lösungen der p-Poisson-Gleichung nachzuweisen. Die Resultate des ersten Ansatzes werden in zwei Schritten dargelegt. Zunächst wird ein allgemeines Einbettungstheorem bewiesen, welches besagt, dass der Schnitt eines klassischen Sobolev-Raums mit einem Hölder-Raum mit den oben beschriebenen Eigenschaften in gewisse Besov-Räume in der Adaptivitätsskala eingebettet werden kann. Der Beweis dieses Einbettungs-Theorems beruht auf Fortsetzungsargumenten in Verbindung mit der Charakterisierung von Besov-Räumen mittels Wavelet-Entwicklungskoeffizienten. Im Anschluss wird verifiziert, dass in vielen Fällen die Lösungen u der p-Poisson-Gleichung in der Tat die Voraussetzungen des Einbettungs-Theorems erfüllen, so dass seine Anwendung das gewünschte Regularitätsresultat liefert. Wie gezeigt wird, ist in vielen Fällen die Besov-Glattheit σ deutlich höher als die Sobolev-Glattheit der Lösung, so dass die Entwicklung von adaptiven Verfahren für das p-Poisson-Problem gerechtfertigt ist. Es sei angemerkt, dass dieser universelle Ansatz für die allgemeine Klasse von Lipschitz-Gebieten anwendbar ist. Das Ziel des zweiten Ansatzes ist es, einen ersten Schritt zur Verbesserung einiger der hergeleiteten Besov-Regularitäts-Ergebnisse für Lösungen auf polygonalen Gebieten zu machen. Hierzu wird die Regularität in einer Umgebung der Gebietsecken untersucht, da gewöhnlich die kritischen Singularitäten von Lösungen dort auftreten. Wie gezeigt wird führt dieser Ansatz zu Regularitätsaussagen, welche - in einem lokalen Sinn - in einigen Fällen stärker sind als jene mittels des ersten Ansatzes hergeleiteten. Die Beweise basieren auf bekannten Resultaten über die singuläre Entwicklung der Lösung u in einer Umgebung eines konischen Randpunktes, sowie auf Einbettungen von Babuska-Kondratiev-Räumen K^l_{p,a}(Ω) geschnitten mit gewissen Besov-Räumen in die Adaptivitätsskala von Besov-Räumen. Wie gezeigt wird, besitzen in einigen Fällen die Lösungen der p-Poisson-Gleichung sogar beliebig hohe gewichtete Sobolev-Regularität l in einer Umgebung der Ecken, und folglich beliebig hohe Besov-Regularität σ. Aufgrund dieser Tatsache wird zusätzlich der Grenzfall dieser Einbettungen für l gleich Unendlich analysiert. Es wird gezeigt, dass die resultierenden Fréchet-Räume stetig in die entsprechenden F-Räume eingebettet sind. Hierbei ist erwähnenswert, dass mit den bewiesenen Einbettungen – unabhängig vom p-Poisson-Setting - universelle funktionalanalytische Tools bereitgestellt werden. Das zweite zentrale Thema dieser Arbeit ist die numerische Lösung der p-Poisson-Gleichung für 1 < p < 2. Gegenstand ist hier die Implementierung sowie das numerische Testen eines relaxierten Iterationsverfahrens vom Kačanov-Typ zur approximativen Lösung der p-Poisson-Gleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen. Hierbei wird für die numerische Lösung der auftretenden linearen elliptischen Teilprobleme ein adaptives Wavelet-Frame-Verfahren verwendet. Der resultierende Algorithmus wird in einer Reihe von numerischen Tests untersucht. Hierbei zeigt sich, dass der implementierte Algorithmus vom Kačanov-Typ in der Praxis ein stabiles Konvergenzverhalten aufweist.