Singular Equivariant Spectral Asymptotics of Schrödinger Operators in R^n and Resonances of Schottky Surfaces

Diese Arbeit besteht aus vier eigenständigen Teilen. Im ersten Teil beweisen wir äquivariante spektrale Asymptotiken für h-Pseudodifferentialoperatoren und für kompakte, orthogonale Gruppenwirkungen. Diese Ergebnisse verallgemeinern bisher bekannte Resultate von El-Houakmi und Helffer (1991) sowie Cassanas (2006). Indem wir neue Ergebnisse für oszillierende Integrale mit singulärer kritischer Menge (Ramacher 2010) nutzen, können wir eine schwache Form des Weyl-Gesetzes beweisen. Außerdem erhalten wir vollständige asymptotische Entwicklungen für die Gutzwiller-Spurformeln ohne eine zusätzliche Bedingung an die Gruppenwirkung zu stellen, indem wir die Annahmen an die Dynamik des Hammilton Flusses geeignet verallgemeinern. Im zweiten und dritten Teil untersuchen wir Resonanzketten, die in vielen unterschiedlichen physikalischen und mathematischen Streuproblemen beobachte wurden. Im zweiten Teil präsentieren wir eine mathematisch rigorose Untersuchung der Resonanzketten auf Schottky-Flächen mit drei hyperbolischen Trichtern. Wir zeigen die analytische Fortsetzbarkeit der verallgemeinerten Zetafunktionen, die das zentrale Werkzeug zum Verständnis der Resonanzketten liefern. Außerdem beweisen wir, dass die Resonanzen nach geeigneter Reskalierung, für ein festes, rationales Verhältnis zwischen den Trichterweiten und im Grenzwert großer Weiten äquidistant auf Geraden angeordnet sind. Die Position dieser Geraden ist vollständig durch ein explizites Polynom gegeben, das nur vom Verhältnis der Trichterweiten abhängt. Im dritten Teil präsentieren wir einen vereinheitlichenden Ansatz zu den Resonanzketten durch eine Verallgemeinerung der dynamischen Zetafunktionen. Mittels einer detaillierten numerischen Untersuchung illustrieren wir, dass die verallgemeinerten Zetafunktionen den Mechanismus erklären, der diese Ketten erzeugt und der sich sowohl auf klassische Ruelle-Resonanzen und Quantenresonanzen in 3-Disk Systemen anwenden lässt, als auch auf geometrische Resonanzen auf Schottkyflächen. Desweiteren präsentieren wir eine System-inhärente Definition der kontinuierlichen Linien, auf denen die Resonanzen aufgereiht sind, indem wir sie als Projektionen analytischer Varietäten schreiben. Außerdem zeigt dieser Ansatz, dass die Ausbildung von Resonanzketten direkt mit einer Clusterbildung im klassischen Längenspektrum um Vielfache einer Basislänge verknüpft ist. Schließlich nutzen wir diese Erkenntnis um neue Beispiele konstruieren, in denen sogar mehrere Kettenstrukturen koexistieren. Der vierte Teil behandelt die Symmetriereduzierung dynamischer Zetafunktionen für holomorphe iterierte Funktionensysteme. Wir führen den Begriff einer endlichen Symmetriegruppe für ein solches iteriertes Funktionensystem ein und zeigen, dass die dynamische Zeta-Funktion in ganze symmetriereduzierte Zetafunktionen faktorisiert, welche durch die irreduziblen Charaktäre der Symmetriegruppe parametrisiert werden. Unter einer Annahme an die Gruppenwirkung auf den Symbolen der symbolischen Dynamik gelingt es uns, die Formeln für die symmetriereduzierten Zetafunktionen noch weiter zu vereinfachen. Als Anwendungsbeispiel wenden wir die Faktorisierung auf Selberg-Zetafunktionen von symmetrischen Schottkyflächen mit n Trichtern an und wir zeigen, dass durch die Faktorsierung die numerische Suche der Nullstellen enorm vereinfacht wird.