Besov regularity of stochastic partial differential equations on bounded Lipschitz domains

In der vorliegenden Arbeit wird die Regularität von Lösungen (semi)linearer parabolischer stochastischer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung (in der Arbeit stets mit SPDEs abgekürzt) auf beschränkten Lipschitz-Gebieten untersucht. Dabei wird die räumliche Regularität in der sogenannten Adaptivitätsskala von Besov-Räumen gemessen. Diese gibt Aufschluss über die Konvergenzrate der besten m-Term-Wavelet-Approximation und damit über die Konvergenzrate der bestmöglichen adaptiven numerischen Lösungsmethode, welche auf Wavelet-Basen oder -Frames begründet ist. Die zeitliche Regularität wird in der klassischen Hölder-Norm gemessen. Die Analyse findet im Rahmen des von Nicolai V. Krylov begründetet analytischen Ansatzes für SPDEs statt. Die in diesem Rahmen kürzlich erzielten Resultate von Kyeong-Hun Kim bezüglich der räumlichen gewichteten Sobolev-Regularität linearer SPDEs auf nicht-glatten Gebieten (DOI:10.1007/s10959-012-0459-7) bildet den Startpunkt der Untersuchungen. Es werden allgemeine Einbettungen gewichteter Sobolev-Räume in klassischen Sobolev-Räumen und in den Besov-Räumen der Adaptivitätsskala bewiesen. Zusammen mit einer Erweiterung von Kims Ergebnissen auf eine Klasse semi-linearer Gleichungen führen diese Einbettungen zum gewünschten Ergebnis hinsichtlich der räumlichen Besov-Regularität der Lösung. Insbesondere zeigen die erzielten Resultate, dass in typischen Situationen, die räumliche Besov-Regularität der Lösung in der Adaptivitätsskala generisch höher ist als deren klassische Sobolev-Regularität. Wie aus der Approximationstheorie bekannt, ist das ein klarer Hinweis dafür, dass in zahlreichen Fällen adaptive Wavelet-Verfahren für die Lösung von SPDEs uniformen Alternativen vorzuziehen sind. Die oben erwähnten Einbettungen werden unabhängig vom SPDE-Setting bewiesen und sind an und für sich auch in anderen mathematischen Bereichen relevant. Durch eine Kombination von Techniken aus dem analytischen Ansatz mit Resultaten aus dem Halbgruppenansatz von Da Prato/Zabczyk (ISBN:9780521059800) werden Resultate hinsichtlich der raum-zeitlichen Regularität der Lösung bewiesen. Mit Hilfe dieser Vorgehensweise wird zunächst eine Lq(Lp)-Theorie für die stochastische Wärmeleitungsgleichung mit additivem Rausche auf allgemeinen Lipschitz-Gebieten etabliert. Der Integrationsparameter q bezüglich der Zeit-Variablen darf dabei größer sein als der räumliche Integrationsparameter p. Darauf aufbauend können Aussagen über die Hölder-Besov-Regularität der Lösung hergeleitet werden.