Algebraic theory of affine monoids

This thesis treats several aspects of affine monoids. First, we consider the structure of the set of holes of an affine monoid Q. This set is the difference between Q and its normalization. We find connections to algebraic properties of the monoi algebra K[Q] and in particular to its local cohom...

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1. Verfasser: Katthän, Lukas
Beteiligte: Welker, Volkmar (Prof. Dr.) (BetreuerIn (Doktorarbeit))
Format: Dissertation
Sprache:Englisch
Veröffentlicht: Philipps-Universität Marburg 2013
Reine und Angewandte Mathematik
Ausgabe:http://dx.doi.org/10.17192/z2013.0237
Schlagworte:
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building Fachbereich Mathematik und Informatik
publishDate 2013
era_facet 2013
publisher Philipps-Universität Marburg
topic Affines Monoid
Mathematik
Halbgruppenring
toric ideals
Symmetrische Gruppe
Kombinatorik
Affine monoid
affine monoid algebra
Kohomologie
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Mathematik
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toric ideals
Symmetrische Gruppe
Kombinatorik
Affine monoid
affine monoid algebra
Kohomologie
Algebraic theory of affine monoids
Katthän, Lukas
Diese Arbeit behandelt verschiedene Aspekte der Theorie der affinen Monoide. Ein affines Monoid ist hierbei eine endlich erzeugte Unterhalbgruppe der freien abelschen Gruppe Z^N. Diese Arbeit ist in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil werden die Grundlagen der Theorie der affinen Monoide und ihrer Algebren zusammengestellt. Der zweite und dritte Teil bilden den Kern dieser Arbeit. Der zweite Teil beschäftigt sich mit allgemeinen affinen Monoiden. Im ersten Kapitel des zweiten Teils wird die Menge der Löcher in einem affinen Monoid Q untersucht. Dies ist die Menge der Elemente der Normalisierung von Q, die nicht in Q selbst liegen. Wir geben eine geometrische Beschreibung dieser Menge und setzen sie mit algebraischen Eigenschaften der Monoidalgebra K[Q], insbesondere mit ihrer lokalen Kohomologie, in Beziehung. Zum Beispiel erlaubt die Kenntnis der Menge der Löcher eine Abschätzung der Tiefe von K[Q] und in manchen Fällen sogar deren explizite Berechnung. Diese Methode zur Bestimmung der Tiefe kann deutlich einfacher sein als die alternative Herangehensweise über Gröbner Basen, wie wir an einem Beispiel exemplarisch vorführen. Wir wenden die Ergebnisse dieses Kapitels anschließend auf zwei spezielle Klassen von affinen Monoiden an, nämlich auf simpliziale und auf seminormale affine Monoide. Verschiedene bekannte Ergebnisse über dieses Klassen von affinen Monoiden können damit von uns neu bewiesen und verallgemeinert werden. Weiterhin verwenden wir unsere Ergebnisse um die Abhängigkeit der lokalen Kohomologie von K[Q] vom Grundkörper K näher zu untersuchen. So können wir beispielsweise zeigen, dass Serres Bedingung (S3) für K[Q] nur von Q und nicht von K abhängt. Falls K[Q] homogen ist kann man aus der oben erwähnten Korrespondenz zwischen lokaler Kohomologie und den Löchern Aussagen über die Castelnuovo-Mumford Regularität gewinnen. Insbesondere können wir auf diese Weise einen Spezialfall der Eisenbud-Goto Vermutung beweisen. Im letzten Kapitel des zweiten Teils konstruieren wir eine spezielle Familie von affinen Monoiden. Viele bekannte Beispiele von nicht-normalen Gitterpolytopen haben die Eigenschaft, dass die Löcher in der Nähe des Randes liegen. Außerdem ist bekannt, dass ein affines Monoid, das eine Familie von Löchern mit Kodimension 1 besitzt, immer schon eine solche Familie im Gitterabstand ≤ 1 von einer Facette hat. Im Gegensatz dazu konstruieren wir eine Familie von nicht-normalen Gittersimplizes, bei denen die Löcher beliebig weit im Inneren liegen. Im dritten Teil dieser Arbeit betrachten wir zwei spezielle Klassen von affinen Monoiden. Zunächst wenden wir uns torischen Kantenringen (toric edge rings) zu. Dies sind die Monoidalgebren, die von quadratfreien Monomen vom Grad 2 erzeugt werden. Torische Kantenringe können durch Graphen beschrieben werden. Die Theorie torischer Kantenringe ist einfacher als für allgemeine affine Monoidalgebren, aber viele Phänomene treten bereits in dieser kleineren Klasse auf. In dieser Arbeit wird ein Kriterium für Serres Bedingung (R1) für torische Kantenringe erarbeitet. Weiterhin zeigen wir, dass die torischen Kantenringe einer bestimmten Klasse von Graphen seminormal sind. Hieraus lässt sich ein Spezialfall einer Vermutung von Hibi et al. über die Tiefe torischer Kantenringe folgern. Schließlich betrachten wird das affine Monoid, das vom linearen Ordnungspolytop (Linear ordering Polytope) erzeugt wird. Dieses Polytop spielt eine wichtige Rolle in der kombinatorischen Optimierung. Andererseits entspricht die zugehörige torische Varietät dem Babington-Smith Modell, einem statistischem Modell aus dem Kontext der Analyse von statistischen Ordnungen. Im Kontext von torischen Modellen ist es von Interesse, eine Markovbasis, das ist ein Erzeugendensystem des zugehörigen torischen Ideals, zu bestimmen. In der vorliegenden Arbeit bestimmen wir die Elemente von Grad 2 im torischen Ideal des linearen Ordnungspolytopes. Dieses Problem ist äquivalent zu einer kombinatorischen Fragestellung über Permutationen, die wir mit Methoden aus der Graphentheorie beantworten können. Im Anhang an die eigentliche Arbeit stellen wir einige algebraische Aussagen über graduierte Ringe zusammen, die in der Literatur nur schwer zu finden sind. Außerdem wird im Anhang ein Beweis eines graphentheoretischen Satzes gegeben, den wir bei der Untersuchung des linearen Ordnungspolytopes benötigen.
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description This thesis treats several aspects of affine monoids. First, we consider the structure of the set of holes of an affine monoid Q. This set is the difference between Q and its normalization. We find connections to algebraic properties of the monoi algebra K[Q] and in particular to its local cohomology. In special cases, this allows to compute the depth of K[Q]. We then specialize to simplicial and seminormal affine monoids and reprove or extend several known results using our theory. Moreover, we consider the dependency of algebraic properties of K[Q] upon the field K. We can show that Serre's (S3) does not depend on K. Further, we prove a special case of a conjecture by Eisenbud and Goto. In the next chapter, we construct a fammily of non-normal lattice simplices, such that the holes have an arbitrary lattice distance from the facets. In the next chapter, we consider toric edge rings and give a criterion for the toric egde ring to satisfy Serre's (R1) and for being seminormal. In the last chapter, we consider the affine monoid of the linear ordering polytope. Using graph theory, we give a combinatorial description of the degree 2 generators of its toric ideal.
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contents Diese Arbeit behandelt verschiedene Aspekte der Theorie der affinen Monoide. Ein affines Monoid ist hierbei eine endlich erzeugte Unterhalbgruppe der freien abelschen Gruppe Z^N. Diese Arbeit ist in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil werden die Grundlagen der Theorie der affinen Monoide und ihrer Algebren zusammengestellt. Der zweite und dritte Teil bilden den Kern dieser Arbeit. Der zweite Teil beschäftigt sich mit allgemeinen affinen Monoiden. Im ersten Kapitel des zweiten Teils wird die Menge der Löcher in einem affinen Monoid Q untersucht. Dies ist die Menge der Elemente der Normalisierung von Q, die nicht in Q selbst liegen. Wir geben eine geometrische Beschreibung dieser Menge und setzen sie mit algebraischen Eigenschaften der Monoidalgebra K[Q], insbesondere mit ihrer lokalen Kohomologie, in Beziehung. Zum Beispiel erlaubt die Kenntnis der Menge der Löcher eine Abschätzung der Tiefe von K[Q] und in manchen Fällen sogar deren explizite Berechnung. Diese Methode zur Bestimmung der Tiefe kann deutlich einfacher sein als die alternative Herangehensweise über Gröbner Basen, wie wir an einem Beispiel exemplarisch vorführen. Wir wenden die Ergebnisse dieses Kapitels anschließend auf zwei spezielle Klassen von affinen Monoiden an, nämlich auf simpliziale und auf seminormale affine Monoide. Verschiedene bekannte Ergebnisse über dieses Klassen von affinen Monoiden können damit von uns neu bewiesen und verallgemeinert werden. Weiterhin verwenden wir unsere Ergebnisse um die Abhängigkeit der lokalen Kohomologie von K[Q] vom Grundkörper K näher zu untersuchen. So können wir beispielsweise zeigen, dass Serres Bedingung (S3) für K[Q] nur von Q und nicht von K abhängt. Falls K[Q] homogen ist kann man aus der oben erwähnten Korrespondenz zwischen lokaler Kohomologie und den Löchern Aussagen über die Castelnuovo-Mumford Regularität gewinnen. Insbesondere können wir auf diese Weise einen Spezialfall der Eisenbud-Goto Vermutung beweisen. Im letzten Kapitel des zweiten Teils konstruieren wir eine spezielle Familie von affinen Monoiden. Viele bekannte Beispiele von nicht-normalen Gitterpolytopen haben die Eigenschaft, dass die Löcher in der Nähe des Randes liegen. Außerdem ist bekannt, dass ein affines Monoid, das eine Familie von Löchern mit Kodimension 1 besitzt, immer schon eine solche Familie im Gitterabstand ≤ 1 von einer Facette hat. Im Gegensatz dazu konstruieren wir eine Familie von nicht-normalen Gittersimplizes, bei denen die Löcher beliebig weit im Inneren liegen. Im dritten Teil dieser Arbeit betrachten wir zwei spezielle Klassen von affinen Monoiden. Zunächst wenden wir uns torischen Kantenringen (toric edge rings) zu. Dies sind die Monoidalgebren, die von quadratfreien Monomen vom Grad 2 erzeugt werden. Torische Kantenringe können durch Graphen beschrieben werden. Die Theorie torischer Kantenringe ist einfacher als für allgemeine affine Monoidalgebren, aber viele Phänomene treten bereits in dieser kleineren Klasse auf. In dieser Arbeit wird ein Kriterium für Serres Bedingung (R1) für torische Kantenringe erarbeitet. Weiterhin zeigen wir, dass die torischen Kantenringe einer bestimmten Klasse von Graphen seminormal sind. Hieraus lässt sich ein Spezialfall einer Vermutung von Hibi et al. über die Tiefe torischer Kantenringe folgern. Schließlich betrachten wird das affine Monoid, das vom linearen Ordnungspolytop (Linear ordering Polytope) erzeugt wird. Dieses Polytop spielt eine wichtige Rolle in der kombinatorischen Optimierung. Andererseits entspricht die zugehörige torische Varietät dem Babington-Smith Modell, einem statistischem Modell aus dem Kontext der Analyse von statistischen Ordnungen. Im Kontext von torischen Modellen ist es von Interesse, eine Markovbasis, das ist ein Erzeugendensystem des zugehörigen torischen Ideals, zu bestimmen. In der vorliegenden Arbeit bestimmen wir die Elemente von Grad 2 im torischen Ideal des linearen Ordnungspolytopes. Dieses Problem ist äquivalent zu einer kombinatorischen Fragestellung über Permutationen, die wir mit Methoden aus der Graphentheorie beantworten können. Im Anhang an die eigentliche Arbeit stellen wir einige algebraische Aussagen über graduierte Ringe zusammen, die in der Literatur nur schwer zu finden sind. Außerdem wird im Anhang ein Beweis eines graphentheoretischen Satzes gegeben, den wir bei der Untersuchung des linearen Ordnungspolytopes benötigen.
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spelling diss/z2013/0237 2013 urn:nbn:de:hebis:04-z2013-02379 Algebraic theory of affine monoids 2013-05-23 2013-05-23 Algebraische Theorie affiner Monoide opus:4879 [Dew+11] R. Dewji, I. Dimitrov, A. McCabe, M. Roth, D. Wehlau, and J. Wilson. " Decomposing Inversion Sets of Permutations and Applications to Faces of the Littlewood-Richardson Cone " . In: ArXiv e-prints (2011). arXiv: 1110.5880 [math.CO]. 2011 Decomposing Inversion Sets of Permutations and Applications to Faces of the Littlewood-Richardson Cone [ES96] D. Eisenbud and B. Sturmfels. " Binomial ideals " . In: Duke Mathematical Journal 84.1 (1996), pp. 1–46. 1996 Binomial ideals M. C. Golumbic. Algorithmic graph theory and perfect graphs. Acad. Press, 1980. 1980 Algorithmic graph theory and perfect graphs [EG84] D. Eisenbud and S. Goto. " Linear free resolutions and minimal multiplicity " . In: J. Algebra 88.1 (1984), pp. 89–133. doi: 10.1016/0021-8693(84)90092- 9. 1984 Linear free resolutions and minimal multiplicity M. 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We find connections to algebraic properties of the monoi algebra K[Q] and in particular to its local cohomology. In special cases, this allows to compute the depth of K[Q]. We then specialize to simplicial and seminormal affine monoids and reprove or extend several known results using our theory. Moreover, we consider the dependency of algebraic properties of K[Q] upon the field K. We can show that Serre's (S3) does not depend on K. Further, we prove a special case of a conjecture by Eisenbud and Goto. In the next chapter, we construct a fammily of non-normal lattice simplices, such that the holes have an arbitrary lattice distance from the facets. In the next chapter, we consider toric edge rings and give a criterion for the toric egde ring to satisfy Serre's (R1) and for being seminormal. In the last chapter, we consider the affine monoid of the linear ordering polytope. Using graph theory, we give a combinatorial description of the degree 2 generators of its toric ideal. 2013-05-10 http://dx.doi.org/10.17192/z2013.0237 Diese Arbeit behandelt verschiedene Aspekte der Theorie der affinen Monoide. Ein affines Monoid ist hierbei eine endlich erzeugte Unterhalbgruppe der freien abelschen Gruppe Z^N. Diese Arbeit ist in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil werden die Grundlagen der Theorie der affinen Monoide und ihrer Algebren zusammengestellt. Der zweite und dritte Teil bilden den Kern dieser Arbeit. Der zweite Teil beschäftigt sich mit allgemeinen affinen Monoiden. Im ersten Kapitel des zweiten Teils wird die Menge der Löcher in einem affinen Monoid Q untersucht. Dies ist die Menge der Elemente der Normalisierung von Q, die nicht in Q selbst liegen. Wir geben eine geometrische Beschreibung dieser Menge und setzen sie mit algebraischen Eigenschaften der Monoidalgebra K[Q], insbesondere mit ihrer lokalen Kohomologie, in Beziehung. Zum Beispiel erlaubt die Kenntnis der Menge der Löcher eine Abschätzung der Tiefe von K[Q] und in manchen Fällen sogar deren explizite Berechnung. Diese Methode zur Bestimmung der Tiefe kann deutlich einfacher sein als die alternative Herangehensweise über Gröbner Basen, wie wir an einem Beispiel exemplarisch vorführen. Wir wenden die Ergebnisse dieses Kapitels anschließend auf zwei spezielle Klassen von affinen Monoiden an, nämlich auf simpliziale und auf seminormale affine Monoide. Verschiedene bekannte Ergebnisse über dieses Klassen von affinen Monoiden können damit von uns neu bewiesen und verallgemeinert werden. Weiterhin verwenden wir unsere Ergebnisse um die Abhängigkeit der lokalen Kohomologie von K[Q] vom Grundkörper K näher zu untersuchen. So können wir beispielsweise zeigen, dass Serres Bedingung (S3) für K[Q] nur von Q und nicht von K abhängt. Falls K[Q] homogen ist kann man aus der oben erwähnten Korrespondenz zwischen lokaler Kohomologie und den Löchern Aussagen über die Castelnuovo-Mumford Regularität gewinnen. Insbesondere können wir auf diese Weise einen Spezialfall der Eisenbud-Goto Vermutung beweisen. Im letzten Kapitel des zweiten Teils konstruieren wir eine spezielle Familie von affinen Monoiden. Viele bekannte Beispiele von nicht-normalen Gitterpolytopen haben die Eigenschaft, dass die Löcher in der Nähe des Randes liegen. Außerdem ist bekannt, dass ein affines Monoid, das eine Familie von Löchern mit Kodimension 1 besitzt, immer schon eine solche Familie im Gitterabstand ≤ 1 von einer Facette hat. Im Gegensatz dazu konstruieren wir eine Familie von nicht-normalen Gittersimplizes, bei denen die Löcher beliebig weit im Inneren liegen. Im dritten Teil dieser Arbeit betrachten wir zwei spezielle Klassen von affinen Monoiden. Zunächst wenden wir uns torischen Kantenringen (toric edge rings) zu. Dies sind die Monoidalgebren, die von quadratfreien Monomen vom Grad 2 erzeugt werden. Torische Kantenringe können durch Graphen beschrieben werden. Die Theorie torischer Kantenringe ist einfacher als für allgemeine affine Monoidalgebren, aber viele Phänomene treten bereits in dieser kleineren Klasse auf. In dieser Arbeit wird ein Kriterium für Serres Bedingung (R1) für torische Kantenringe erarbeitet. Weiterhin zeigen wir, dass die torischen Kantenringe einer bestimmten Klasse von Graphen seminormal sind. Hieraus lässt sich ein Spezialfall einer Vermutung von Hibi et al. über die Tiefe torischer Kantenringe folgern. Schließlich betrachten wird das affine Monoid, das vom linearen Ordnungspolytop (Linear ordering Polytope) erzeugt wird. Dieses Polytop spielt eine wichtige Rolle in der kombinatorischen Optimierung. Andererseits entspricht die zugehörige torische Varietät dem Babington-Smith Modell, einem statistischem Modell aus dem Kontext der Analyse von statistischen Ordnungen. Im Kontext von torischen Modellen ist es von Interesse, eine Markovbasis, das ist ein Erzeugendensystem des zugehörigen torischen Ideals, zu bestimmen. In der vorliegenden Arbeit bestimmen wir die Elemente von Grad 2 im torischen Ideal des linearen Ordnungspolytopes. Dieses Problem ist äquivalent zu einer kombinatorischen Fragestellung über Permutationen, die wir mit Methoden aus der Graphentheorie beantworten können. Im Anhang an die eigentliche Arbeit stellen wir einige algebraische Aussagen über graduierte Ringe zusammen, die in der Literatur nur schwer zu finden sind. Außerdem wird im Anhang ein Beweis eines graphentheoretischen Satzes gegeben, den wir bei der Untersuchung des linearen Ordnungspolytopes benötigen. Philipps-Universität Marburg ths Prof. Dr. Welker Volkmar Welker, Volkmar (Prof. Dr.) Katthän, Lukas Katthän Lukas
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