Algebraic theory of affine monoids

Diese Arbeit behandelt verschiedene Aspekte der Theorie der affinen Monoide. Ein affines Monoid ist hierbei eine endlich erzeugte Unterhalbgruppe der freien abelschen Gruppe Z^N. Diese Arbeit ist in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil werden die Grundlagen der Theorie der affinen Monoide und ihrer Algebren zusammengestellt. Der zweite und dritte Teil bilden den Kern dieser Arbeit. Der zweite Teil beschäftigt sich mit allgemeinen affinen Monoiden. Im ersten Kapitel des zweiten Teils wird die Menge der Löcher in einem affinen Monoid Q untersucht. Dies ist die Menge der Elemente der Normalisierung von Q, die nicht in Q selbst liegen. Wir geben eine geometrische Beschreibung dieser Menge und setzen sie mit algebraischen Eigenschaften der Monoidalgebra K[Q], insbesondere mit ihrer lokalen Kohomologie, in Beziehung. Zum Beispiel erlaubt die Kenntnis der Menge der Löcher eine Abschätzung der Tiefe von K[Q] und in manchen Fällen sogar deren explizite Berechnung. Diese Methode zur Bestimmung der Tiefe kann deutlich einfacher sein als die alternative Herangehensweise über Gröbner Basen, wie wir an einem Beispiel exemplarisch vorführen. Wir wenden die Ergebnisse dieses Kapitels anschließend auf zwei spezielle Klassen von affinen Monoiden an, nämlich auf simpliziale und auf seminormale affine Monoide. Verschiedene bekannte Ergebnisse über dieses Klassen von affinen Monoiden können damit von uns neu bewiesen und verallgemeinert werden. Weiterhin verwenden wir unsere Ergebnisse um die Abhängigkeit der lokalen Kohomologie von K[Q] vom Grundkörper K näher zu untersuchen. So können wir beispielsweise zeigen, dass Serres Bedingung (S3) für K[Q] nur von Q und nicht von K abhängt. Falls K[Q] homogen ist kann man aus der oben erwähnten Korrespondenz zwischen lokaler Kohomologie und den Löchern Aussagen über die Castelnuovo-Mumford Regularität gewinnen. Insbesondere können wir auf diese Weise einen Spezialfall der Eisenbud-Goto Vermutung beweisen. Im letzten Kapitel des zweiten Teils konstruieren wir eine spezielle Familie von affinen Monoiden. Viele bekannte Beispiele von nicht-normalen Gitterpolytopen haben die Eigenschaft, dass die Löcher in der Nähe des Randes liegen. Außerdem ist bekannt, dass ein affines Monoid, das eine Familie von Löchern mit Kodimension 1 besitzt, immer schon eine solche Familie im Gitterabstand ≤ 1 von einer Facette hat. Im Gegensatz dazu konstruieren wir eine Familie von nicht-normalen Gittersimplizes, bei denen die Löcher beliebig weit im Inneren liegen. Im dritten Teil dieser Arbeit betrachten wir zwei spezielle Klassen von affinen Monoiden. Zunächst wenden wir uns torischen Kantenringen (toric edge rings) zu. Dies sind die Monoidalgebren, die von quadratfreien Monomen vom Grad 2 erzeugt werden. Torische Kantenringe können durch Graphen beschrieben werden. Die Theorie torischer Kantenringe ist einfacher als für allgemeine affine Monoidalgebren, aber viele Phänomene treten bereits in dieser kleineren Klasse auf. In dieser Arbeit wird ein Kriterium für Serres Bedingung (R1) für torische Kantenringe erarbeitet. Weiterhin zeigen wir, dass die torischen Kantenringe einer bestimmten Klasse von Graphen seminormal sind. Hieraus lässt sich ein Spezialfall einer Vermutung von Hibi et al. über die Tiefe torischer Kantenringe folgern. Schließlich betrachten wird das affine Monoid, das vom linearen Ordnungspolytop (Linear ordering Polytope) erzeugt wird. Dieses Polytop spielt eine wichtige Rolle in der kombinatorischen Optimierung. Andererseits entspricht die zugehörige torische Varietät dem Babington-Smith Modell, einem statistischem Modell aus dem Kontext der Analyse von statistischen Ordnungen. Im Kontext von torischen Modellen ist es von Interesse, eine Markovbasis, das ist ein Erzeugendensystem des zugehörigen torischen Ideals, zu bestimmen. In der vorliegenden Arbeit bestimmen wir die Elemente von Grad 2 im torischen Ideal des linearen Ordnungspolytopes. Dieses Problem ist äquivalent zu einer kombinatorischen Fragestellung über Permutationen, die wir mit Methoden aus der Graphentheorie beantworten können. Im Anhang an die eigentliche Arbeit stellen wir einige algebraische Aussagen über graduierte Ringe zusammen, die in der Literatur nur schwer zu finden sind. Außerdem wird im Anhang ein Beweis eines graphentheoretischen Satzes gegeben, den wir bei der Untersuchung des linearen Ordnungspolytopes benötigen.