Jordan theoretic G-orbits and flag varieties

The Jordan theoretic approach to bounded symmetric domains G/K is used to determine the G-orbits on the compact dual of G/K as well as their Matsuki-duals in an explicit way. For this we use a generalized version of the Peirce decomposition within Jordan triple systems and the notion of pseudo-inver...

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Main Author: Schwarz, Benjamin
Contributors: Upmeier, Harald (Prof. Dr.) (Thesis advisor)
Format: Dissertation
Language:English
Published: Philipps-Universität Marburg 2010
Mathematik und Informatik
Subjects:
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7. In Abschnitt 9.1 geben wir die Definition der Barchini-Gindikin-Wong Determi- nantenfunktionen wieder und erinnern an eine erste Anwendung in der Geometrie.


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14. Die Herleitung der G-Invarianten auf G(Z) in Kapitel 5 geschieht auf indirekte Weise. Wir betten die Grassmannsche diagonal als reelle Untermannigfaltigkeit in das Produkt G(Z)×G(Z) ein, wobei G(Z) die konjugierte Grassmannsche bezeich- net (siehe Abschnitt 4.1), und untersuchen eine G C -Gruppenoperation auf diesem Produkt, die in der Einschränkung auf G ⊂ G C entlang der Diagonalen mit der üblichen G-Operation auf G(Z) übereinstimmt. Der Vorteil dieser Vorgehensweise B. DEUTSCHE ZUSAMMENFASSUNG Diese Definition verbindet die beiden grundlegenden Äquivalenzrelationen eines phJTS, d.h. die Peirce-Äquivalenzrelation und die Loos'sche Äquivalenzrelation zur Beschreibung der Grassmannschen, in hochgradig nicht-trivialer Weise. Das Hauptresultat dieses Kapitels (Theorem 8.11) zeigt, dass diese Relation tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist und gemäß Godements Theorem eine Mannigfaltigkeitss- truktur auf F J definiert. In Abschnitt 8.4 untersuchen wir die analytische und die al- gebraische Struktur der Jordan-Fahnenvarietät näher und zeigen, dass F J eine kom- pakte glatte algebraische Varietät ist (Proposition 8.14). Zudem definieren wir eine G C -Operation auf F J und beweisen auf diesem Weg, dass die Jordan-Fahnenvarietät F J tatsächlich ein Modell des Quotienten G C Q C für eine reell parabolische Unter- gruppe Q ⊂ G vom Typ J darstellt (Theorem 8.20). Schließlich verwenden wir den Godement-Zugang, um Geradenbündel auf den Jordan-Fahnenvarietäten zu defi- nieren. Wir zeigen, dass diese Geradenbündel G C -homogen sind (Proposition 8.23).


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16. Diese Repräsentanten sind eindeutig bestimmt bis auf Peirce- Äquivalenz in c bzw. in u. In der Übersicht zu Kapitel 7 be- schreiben wir, wie diese Repräsentantensysteme bei der Frage der Orbitstrukturen auf der Grassmannschen Anwendung finden.


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18. Abschnitt 9.2 liefert den Jordantheoretischen Zugang zu diesem Thema. Durch den Godement-Zugang zu Geradenbündeln definieren wir G C -invariante Schnitte auf G × G × F J , die Jordan-Determinantenfunktionen. Schließlich identifizieren wir in Abschnitt 9.3 die Mannigfaltigkeiten, die bei der Definition der Barchini-Gindikin- Wong Determinantenfunktionen eine Rolle spielen mit einer offenen und dichten Teilmenge von G × G × F J , und wir beweisen dass die Nullstellenmengen der einge- schränkten Versionen dieser Determinantenfunktionen übereinstimmen.


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26. Ausstehende Arbeit. Wir erinnern an die Ziele des Programms " Jordantheo- rie und geometrische Realisierungen " , das oben bereits vorgestellt wurde, (i) eine Jordan theoretische Beschreibung verallgemeinerter Fahnenvarietäten zu geben, (ii) die G-Orbitstruktur explizit zu bestimmen, und (iii) die zugehörigen Darstellungen zu beschreiben. In dieser Arbeit haben wir Problem (i) für verallgemeinerte Fah- nenvarietäten G C P C mit reell parabolischer Untergruppe P ⊂ G vollständig gelöst und begründet, dass dies die allgemeinste Form von Fahnenvarietäten ist, die sich Jordantheoretisch beschreiben lässt. Desweiteren haben wir Problem (ii) im hermi- tesch symmetrischen Fall G(Z) gelöst. Einen ersten Schritt in Richtung (ii) und (iii) im allgemeinen Fall haben wir im letzten Kapitel durch die Diskussion von Determinantenfunktionen getan. Im Folgenden skizzieren wir einige Felder der aus- stehenden Arbeit: Orbitstruktur auf Jordan-Fahnenvarietäten. Wir erwarten, eine Beschreibung der G-und K C -Orbitstruktur einer Jordan-Fahnenmannigfaltigkeit zu fin- den, die der Beschreibung der Orbitstrukturen auf der Grassmannschen G(Z) aus Kapitel 7 ähnelt, d.h. wir vermuten, dass es für die definierende Äquivalenzrelation auf Z J × Z × Z zwei Repräsentantensysteme gibt, die der G-und der K C -Orbitstruktur entsprechen.


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38. Zu Repräsentanten von Elementen der Grassmannschen. Da die Grassmannsche G(Z) über eine Äquivalenzrelation auf Z × Z de- finiert ist (siehe oben), sind ihre Elemente durch Äquivalenzklas- sen beschrieben, die wir mit [z a] bezeichnen. Da diese Äquiva- lenzrelation regulär ist, folgt aus Godements Theorem, dass die kanonische Projektion von Z × Z auf G(Z) ein Submersion ist. Für festes a ∈ Z liefert die Einschränkung dieser Projektion auf Z × {a} gerade die (Jordantheoretischen) Karten der Grassmann- schen. Auf diese Weise kann der Faktor Z als Parameterraum für die Karten auf G(Z) betrachtet werden. Anders betrachtet stellt Z × {a} für jedes feste a ∈ Z ein Teil-Repräsentatensystem für die Elemente der Grassmannschen dar. Offensichtlich lassen sich auch beliebige andere Repräsentan- tensysteme wählen, so dass sich die Frage stellt, ob man für eine gegebene Problemstellung zur Grassmannschen ein geeignetes Re- präsentantensystem wählen kann, welches diese Problemstellung möglichst einfach beantwortet. Dieses ist ein weiterer Vorteil des Godement-Zugangs (siehe oben). Theorem 4.12 beantwortet die Frage nach der G-und K C -Orbitstrukturen der Grassmannschen auf genau diese Weise. In Verbindung mit Bemerkung 4.13 besagt es, dass jedes Element χ ∈ G(Z) dargestellt werden kann durch 2 (i) χ = [e + d e c + d c ] mit e, c ∈ S, c ≤ e, d e ∈ D e 0 , d c ∈ D c 1 , (ii) χ = [u + z u † ] mit u, z ∈ Z, u z.


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45. JT12 (x y)Q z + Q z (y x) = 2 Q z,{x, y, z} , JT13 2 (x y)(x z) = (Q x y) z + Q x Q y,z , JT14 {x, y, {u, v, z}} − {u, v, {x, y, z}} = {{x, y, u} , v, z} − {u, {y, x, v} , z} , JT15 [x y, u v] = {x, y, u} v − u {y, x, v} , JT16 {{x, y, u} , v, z} − {u, {y, x, v} , z} = {x, {v, u, y} , z} − {{u, v, x} , y, z} , 148 A. LIST OF IDENTITIES FOR JORDAN TRIPLE SYSTEMS JT17 ((Q x y) z)Q x = Q x (y (Q x z)) , JT18 2 ((Q x y) z)(x y) = Q x Q y (x z) + x (Q y Q x z) ,


46. J.A. Wolf. The action of a real semisimple group on a complex flag manifold. I: Orbit structure and holomorphic arc components. Bull. Am. Math. Soc., 75:1121–1237, 1969.


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