Lefschetz Elements for Stanley-Reisner Rings and Annihilator Numbers

I Introduction 1 1 Basic algebraic definitions and constructions 3 1.1 Some homological algebra .......................... 3 1.1.1 Free resolutions............................ 3 1.1.2 Cochain complexes and injective resolutions . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Tor- and Ext-gr...

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1. Verfasser: Kubitzke, Martina
Beteiligte: Welker, Volkmar (Prof. Dr.) (BetreuerIn (Doktorarbeit))
Format: Dissertation
Sprache:Englisch
Veröffentlicht: Philipps-Universität Marburg 2009
Reine und Angewandte Mathematik
Schlagworte:
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topic Algebraic combinatorics
Mathematik
Simplizialer Komplex
Algebraische Kombinatorik
Commutative algebra
Simplicial complex
Exterior algebra of a module
Äußere Algebra eines Moduls
Kommutative Algebra
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Mathematik
Simplizialer Komplex
Algebraische Kombinatorik
Commutative algebra
Simplicial complex
Exterior algebra of a module
Äußere Algebra eines Moduls
Kommutative Algebra
Wohl eines der klassischsten und meist untersuchten Probleme im Bereich der kombinatorischen kommutativen Algebra und der diskreten Geometrie ist die Charakterisierung von f-Vektoren spezieller Klassen simplizialer Komplexe. Kruskal und Katona gelang es, alle Vektoren zu beschreiben, die als f-Vektoren simplizialer Komplexe auftreten können. Ausgehend von dieser Klassifizierung stellt sich die Frage, ob es möglich ist, noch einmal die Vektoren zu extrahieren, die zu bestimmten Klassen simplizialer Komplexe gehören, wie z. B. Gorenstein* Komplexen, Randkomplexen simplizialer Polytopen oder simplizialen Sphären. Für letztere Klasse simplizialer Komplexe formulierte McMullen 1971 die sog. g-Vermutung. Diese ursprünglich nur für Randkomplexe simplizialer Polytope aufgestellte Vermutung wurde 1979 von Stanley bzw. Billera und Lee bewiesen (g-Theorem). Zusätzlich zu dem klassischen g-Theorem gibt es eine Vielzahl von Ergebnissen, die eine Lefschetz-Eigenschaft für spezielle Klassen simplizialer Komplexe zeigen. Im ersten Teil dieser Arbeit wird in Zusammenarbeit mit Eran Nevo die sog. fast starke Lefschetz-Eigenschaft sowohl für baryzentrische Unterteilungen schälbarer simplizialer Komplexe als auch für baryzentrische Unterteilungen schälbarer polytopaler Komplexe gezeigt. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit dem Vergleich der symmetrischen Tiefe eines Moduls über dem Polynomring mit der äußeren Tiefe eines assoziierten Moduls über der äußeren Algebra. Desweiteren wird das Konzept der symmetrischen Annulatorzahlen bezüglich einer Sequenz für Moduln über dem Polynomring auf Moduln über der äußeren Algebra übertragen. Dabei werden zum einen bestehende Ergebnisse über dem Polynomring zu der Situation über der äußeren Algebra erweitert. So wird beispielsweise die Unabhängigkeit der äußeren Annulatorzahlen von der Sequenz gezeigt, wenn diese generisch gewählt wird, sowie ein Zusammenhang mit den Cartan-Betti-Zahlen hergestellt. Zum anderen können aber auch zusätzliche Ergebnisse erzielt werden, wie z. B. eine kombinatorische Beschreibung der Annulatorzahlen. Desweiteren wird noch ein Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Herzog bezüglich der Minimalität der sog. generischen Annulatorzahlen sowohl über dem Polynomring als auch über der äußeren Algebra angegeben.
Lefschetz Elements for Stanley-Reisner Rings and Annihilator Numbers
Kubitzke, Martina
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contents Wohl eines der klassischsten und meist untersuchten Probleme im Bereich der kombinatorischen kommutativen Algebra und der diskreten Geometrie ist die Charakterisierung von f-Vektoren spezieller Klassen simplizialer Komplexe. Kruskal und Katona gelang es, alle Vektoren zu beschreiben, die als f-Vektoren simplizialer Komplexe auftreten können. Ausgehend von dieser Klassifizierung stellt sich die Frage, ob es möglich ist, noch einmal die Vektoren zu extrahieren, die zu bestimmten Klassen simplizialer Komplexe gehören, wie z. B. Gorenstein* Komplexen, Randkomplexen simplizialer Polytopen oder simplizialen Sphären. Für letztere Klasse simplizialer Komplexe formulierte McMullen 1971 die sog. g-Vermutung. Diese ursprünglich nur für Randkomplexe simplizialer Polytope aufgestellte Vermutung wurde 1979 von Stanley bzw. Billera und Lee bewiesen (g-Theorem). Zusätzlich zu dem klassischen g-Theorem gibt es eine Vielzahl von Ergebnissen, die eine Lefschetz-Eigenschaft für spezielle Klassen simplizialer Komplexe zeigen. Im ersten Teil dieser Arbeit wird in Zusammenarbeit mit Eran Nevo die sog. fast starke Lefschetz-Eigenschaft sowohl für baryzentrische Unterteilungen schälbarer simplizialer Komplexe als auch für baryzentrische Unterteilungen schälbarer polytopaler Komplexe gezeigt. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit dem Vergleich der symmetrischen Tiefe eines Moduls über dem Polynomring mit der äußeren Tiefe eines assoziierten Moduls über der äußeren Algebra. Desweiteren wird das Konzept der symmetrischen Annulatorzahlen bezüglich einer Sequenz für Moduln über dem Polynomring auf Moduln über der äußeren Algebra übertragen. Dabei werden zum einen bestehende Ergebnisse über dem Polynomring zu der Situation über der äußeren Algebra erweitert. So wird beispielsweise die Unabhängigkeit der äußeren Annulatorzahlen von der Sequenz gezeigt, wenn diese generisch gewählt wird, sowie ein Zusammenhang mit den Cartan-Betti-Zahlen hergestellt. Zum anderen können aber auch zusätzliche Ergebnisse erzielt werden, wie z. B. eine kombinatorische Beschreibung der Annulatorzahlen. Desweiteren wird noch ein Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Herzog bezüglich der Minimalität der sog. generischen Annulatorzahlen sowohl über dem Polynomring als auch über der äußeren Algebra angegeben.
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description I Introduction 1 1 Basic algebraic definitions and constructions 3 1.1 Some homological algebra .......................... 3 1.1.1 Free resolutions............................ 3 1.1.2 Cochain complexes and injective resolutions . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Tor- and Ext-groups ......................... 7 1.1.4 The Eliahou-Kervaire resolution ................... 8 1.1.5 The Cartan complex ......................... 10 1.2 The generic initial ideal ............................ 12 1.2.1 The basic construction ........................ 12 1.2.2 Main properties............................ 13 1.2.3 Algebraic invariants of the generic initial ideal with respect to the reverse lexicographic order...................... 14 1.2.4 The generic initial ideal over the exterior algebra . . . . . . . . . . 15 2 Simplicial complexes 17 2.1 Simplicial complexes the basic definition . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Classes of simplicial complexes ....................... 20 2.2.1 Cohen-Macaulay complexes ..................... 20 2.2.2 Shellable complexes ......................... 22 2.3 Operations and constructions on simplicial complexes . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Several standard operations ..................... 24 2.3.2 The barycentric subdivision ..................... 24 2.3.3 Algebraic shifting: The exterior shifting of a simplicial complex . . 26 II Lefschetz Properties for Classes of Simplicial Complexes 29 3 The Lefschetz property: classical and more recent results 31 3.1 The classical g-theorem and the g-conjecture ................ 31 3.2 More recent results .............................. 34 3.2.1 The strong Lefschetz property for matroid complexes . . . . . . . . 37 3.2.2 The strong Lefschetz property for simplicial complexes admitting a convex ear decomposition ...................... 37 3.2.3 The behavior of Lefschetz properties under join, union and connected sum .............................. 38 3.2.4 The behavior of Lefschetz properties under stellar subdivisions of simplicial complexes ......................... 39 3.2.5 Lefschetz properties for strongly edge decomposable complexes . . 40 3.2.6 The non-negativity of the cd-index. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Algebraic methods .............................. 42 4 The Lefschetz property for barycentric subdivisions of simplicial complexes 47 4.1 The motivation for studying barycentric subdivisions of simplicial complexes 48 4.2 The almost strong Lefschetz property for shellable complexes . . . . . . . 50 4.3 Numerical consequences for the h-vector................... 57 4.4 Inequalities for a special refinement of the Eulerian numbers . . . . . . . . 58 4.5 Open problems and conjectures........................ 64 III Notion of Depth and Annihilator Numbers 67 5 Exterior depth and generic annihilator numbers 69 5.1 The exterior depth............................... 70 5.2 Annihilator numbers ............................. 76 5.2.1 Symmetric annihilator numbers ................... 77 5.2.2 Exterior annihilator numbers ..................... 79 5.2.3 An application of almost regular sequences and generic annihilator numbers................................ 84 5.3 A counterexample to a minimality conjecture of Herzog . . . . . . . . . . . 85 5.4 The exterior depth and exterior annihilator numbers for Stanley-Reisner rings 91 5.4.1 The exterior depth for Stanley-Reisner rings of simplicial complexes 91 5.4.2 Annihilator numbers for Stanley-Reisner rings of simplicial complexes ................................. 96 References 101
author Kubitzke, Martina
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spelling diss/z2009/0461 2011-08-10 Lefschetz-Elemente für Stanley-Reisner Ringe und Annulatorzahlen 2009 opus:2423 Wohl eines der klassischsten und meist untersuchten Probleme im Bereich der kombinatorischen kommutativen Algebra und der diskreten Geometrie ist die Charakterisierung von f-Vektoren spezieller Klassen simplizialer Komplexe. Kruskal und Katona gelang es, alle Vektoren zu beschreiben, die als f-Vektoren simplizialer Komplexe auftreten können. Ausgehend von dieser Klassifizierung stellt sich die Frage, ob es möglich ist, noch einmal die Vektoren zu extrahieren, die zu bestimmten Klassen simplizialer Komplexe gehören, wie z. B. Gorenstein* Komplexen, Randkomplexen simplizialer Polytopen oder simplizialen Sphären. Für letztere Klasse simplizialer Komplexe formulierte McMullen 1971 die sog. g-Vermutung. Diese ursprünglich nur für Randkomplexe simplizialer Polytope aufgestellte Vermutung wurde 1979 von Stanley bzw. Billera und Lee bewiesen (g-Theorem). Zusätzlich zu dem klassischen g-Theorem gibt es eine Vielzahl von Ergebnissen, die eine Lefschetz-Eigenschaft für spezielle Klassen simplizialer Komplexe zeigen. Im ersten Teil dieser Arbeit wird in Zusammenarbeit mit Eran Nevo die sog. fast starke Lefschetz-Eigenschaft sowohl für baryzentrische Unterteilungen schälbarer simplizialer Komplexe als auch für baryzentrische Unterteilungen schälbarer polytopaler Komplexe gezeigt. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit dem Vergleich der symmetrischen Tiefe eines Moduls über dem Polynomring mit der äußeren Tiefe eines assoziierten Moduls über der äußeren Algebra. Desweiteren wird das Konzept der symmetrischen Annulatorzahlen bezüglich einer Sequenz für Moduln über dem Polynomring auf Moduln über der äußeren Algebra übertragen. Dabei werden zum einen bestehende Ergebnisse über dem Polynomring zu der Situation über der äußeren Algebra erweitert. So wird beispielsweise die Unabhängigkeit der äußeren Annulatorzahlen von der Sequenz gezeigt, wenn diese generisch gewählt wird, sowie ein Zusammenhang mit den Cartan-Betti-Zahlen hergestellt. Zum anderen können aber auch zusätzliche Ergebnisse erzielt werden, wie z. B. eine kombinatorische Beschreibung der Annulatorzahlen. Desweiteren wird noch ein Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Herzog bezüglich der Minimalität der sog. generischen Annulatorzahlen sowohl über dem Polynomring als auch über der äußeren Algebra angegeben. 2009-07-10 Lefschetz Elements for Stanley-Reisner Rings and Annihilator Numbers 2009-09-02 I Introduction 1 1 Basic algebraic definitions and constructions 3 1.1 Some homological algebra .......................... 3 1.1.1 Free resolutions............................ 3 1.1.2 Cochain complexes and injective resolutions . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Tor- and Ext-groups ......................... 7 1.1.4 The Eliahou-Kervaire resolution ................... 8 1.1.5 The Cartan complex ......................... 10 1.2 The generic initial ideal ............................ 12 1.2.1 The basic construction ........................ 12 1.2.2 Main properties............................ 13 1.2.3 Algebraic invariants of the generic initial ideal with respect to the reverse lexicographic order...................... 14 1.2.4 The generic initial ideal over the exterior algebra . . . . . . . . . . 15 2 Simplicial complexes 17 2.1 Simplicial complexes the basic definition . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Classes of simplicial complexes ....................... 20 2.2.1 Cohen-Macaulay complexes ..................... 20 2.2.2 Shellable complexes ......................... 22 2.3 Operations and constructions on simplicial complexes . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Several standard operations ..................... 24 2.3.2 The barycentric subdivision ..................... 24 2.3.3 Algebraic shifting: The exterior shifting of a simplicial complex . . 26 II Lefschetz Properties for Classes of Simplicial Complexes 29 3 The Lefschetz property: classical and more recent results 31 3.1 The classical g-theorem and the g-conjecture ................ 31 3.2 More recent results .............................. 34 3.2.1 The strong Lefschetz property for matroid complexes . . . . . . . . 37 3.2.2 The strong Lefschetz property for simplicial complexes admitting a convex ear decomposition ...................... 37 3.2.3 The behavior of Lefschetz properties under join, union and connected sum .............................. 38 3.2.4 The behavior of Lefschetz properties under stellar subdivisions of simplicial complexes ......................... 39 3.2.5 Lefschetz properties for strongly edge decomposable complexes . . 40 3.2.6 The non-negativity of the cd-index. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Algebraic methods .............................. 42 4 The Lefschetz property for barycentric subdivisions of simplicial complexes 47 4.1 The motivation for studying barycentric subdivisions of simplicial complexes 48 4.2 The almost strong Lefschetz property for shellable complexes . . . . . . . 50 4.3 Numerical consequences for the h-vector................... 57 4.4 Inequalities for a special refinement of the Eulerian numbers . . . . . . . . 58 4.5 Open problems and conjectures........................ 64 III Notion of Depth and Annihilator Numbers 67 5 Exterior depth and generic annihilator numbers 69 5.1 The exterior depth............................... 70 5.2 Annihilator numbers ............................. 76 5.2.1 Symmetric annihilator numbers ................... 77 5.2.2 Exterior annihilator numbers ..................... 79 5.2.3 An application of almost regular sequences and generic annihilator numbers................................ 84 5.3 A counterexample to a minimality conjecture of Herzog . . . . . . . . . . . 85 5.4 The exterior depth and exterior annihilator numbers for Stanley-Reisner rings 91 5.4.1 The exterior depth for Stanley-Reisner rings of simplicial complexes 91 5.4.2 Annihilator numbers for Stanley-Reisner rings of simplicial complexes ................................. 96 References 101 urn:nbn:de:hebis:04-z2009-04612 ths Prof. Dr. Welker Volkmar Welker, Volkmar (Prof. Dr.) Philipps-Universität Marburg Kubitzke, Martina Kubitzke Martina
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