Lefschetz Elements for Stanley-Reisner Rings and Annihilator Numbers

Wohl eines der klassischsten und meist untersuchten Probleme im Bereich der kombinatorischen kommutativen Algebra und der diskreten Geometrie ist die Charakterisierung von f-Vektoren spezieller Klassen simplizialer Komplexe. Kruskal und Katona gelang es, alle Vektoren zu beschreiben, die als f-Vektoren simplizialer Komplexe auftreten können. Ausgehend von dieser Klassifizierung stellt sich die Frage, ob es möglich ist, noch einmal die Vektoren zu extrahieren, die zu bestimmten Klassen simplizialer Komplexe gehören, wie z. B. Gorenstein* Komplexen, Randkomplexen simplizialer Polytopen oder simplizialen Sphären. Für letztere Klasse simplizialer Komplexe formulierte McMullen 1971 die sog. g-Vermutung. Diese ursprünglich nur für Randkomplexe simplizialer Polytope aufgestellte Vermutung wurde 1979 von Stanley bzw. Billera und Lee bewiesen (g-Theorem). Zusätzlich zu dem klassischen g-Theorem gibt es eine Vielzahl von Ergebnissen, die eine Lefschetz-Eigenschaft für spezielle Klassen simplizialer Komplexe zeigen. Im ersten Teil dieser Arbeit wird in Zusammenarbeit mit Eran Nevo die sog. fast starke Lefschetz-Eigenschaft sowohl für baryzentrische Unterteilungen schälbarer simplizialer Komplexe als auch für baryzentrische Unterteilungen schälbarer polytopaler Komplexe gezeigt. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit dem Vergleich der symmetrischen Tiefe eines Moduls über dem Polynomring mit der äußeren Tiefe eines assoziierten Moduls über der äußeren Algebra. Desweiteren wird das Konzept der symmetrischen Annulatorzahlen bezüglich einer Sequenz für Moduln über dem Polynomring auf Moduln über der äußeren Algebra übertragen. Dabei werden zum einen bestehende Ergebnisse über dem Polynomring zu der Situation über der äußeren Algebra erweitert. So wird beispielsweise die Unabhängigkeit der äußeren Annulatorzahlen von der Sequenz gezeigt, wenn diese generisch gewählt wird, sowie ein Zusammenhang mit den Cartan-Betti-Zahlen hergestellt. Zum anderen können aber auch zusätzliche Ergebnisse erzielt werden, wie z. B. eine kombinatorische Beschreibung der Annulatorzahlen. Desweiteren wird noch ein Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Herzog bezüglich der Minimalität der sog. generischen Annulatorzahlen sowohl über dem Polynomring als auch über der äußeren Algebra angegeben.