Minimal CW-Complexes for Complements of Reflection Arrangements of Type A_(n-1) and B_(n)

An arrangement of hyperplanes (or just an arrangement) A is a finite collection of linear subspaces of codimension 1 in a finite dimensional vector space. Each hyperplane H is the kernel of a linear function αH, which is unique up to a constant. ARn−1 denotes the braid arrangement in Rn, consist...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
1. Verfasser: Djawadi, Daniel
Beteiligte: Welker, Volkmar (Prof.) (BetreuerIn (Doktorarbeit))
Format: Dissertation
Sprache:Englisch
Veröffentlicht: Philipps-Universität Marburg 2009
Mathematik und Informatik
Schlagworte:
Online Zugang:PDF-Volltext
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Inhaltsangabe:
  • Ein Arrangement von Hyperebenen A (kurz: Arrangement) besteht aus einer endlichen Menge von linearen Unterr¨aumen der Kodimension 1 in einem endlichdimensionalen Vektorraum. Jede dieser Hyperebenen H ist der Kern einer linearen Abbildung αH, welche bis auf Konstanten eindeutig ist. AR n−1 bezeichnet das Braid-Arrangement im Rn. Es besteht aus den Hyperebenen Hi,j := {x ∈ Rn | xi = xj} f¨ur 1 ≤ i < j ≤ n. BR n bezeichnet das Arrangement im Rn, dass zus¨atzlich zu den Hyperebenen Hi,j des Braid-Arrangements, die Hyperebenen Hi,−j := {x ∈ Rn | xi = −xj}, 1 ≤ i < j ≤ n, und die Koordinaten-Hyperebenen Hi := {x ∈ Rn | xi = 0}, i = 1, . . . , n, enth¨alt. Als Komplexifizierung eines reellen Arrangments im Rn versteht man das Arrangement im Cn, welches durch dieselben definierenden Linearformen gegeben ist. Wir verzichten auf den Index C und bezeichnen mit An−1 bzw. Bn die Komplexifizierungen der beiden Arrangements, die wir oben definiert haben. Die Notation ist in Anlehnung an die zugehörigen Spiegelungsgruppen An−1 und Bn gewählt. Für ein Hyperebenen Arrangement A definieren wir das Komplement M(A) von A als das Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen in A. In dieser Arbeit untersuchen wir die Komplemente M(An−1) ⊂ Cn und M(Bn) ⊂ Cn der Komplexifizierungen der beiden obigen reellen Arrangements. Die topologischen Eigenschaften solcher Komplemente werden seit den frühen 1970er Jahren untersucht. P. Deligne zeigte 1972, dass das Komplement eines komplexifizierten Arrangements K(π, 1) ist, falls die Regionen, die durch die 103 Hyperebenen im Rn entstehen simpliziale Kegel sind [7]. Wichtig f¨ur diese Arbeit ist die Tatsache, dass das Komplement eines komplexifizierten reellen Arrangements homotopie-äquivalent zu einem regulären CW-Komplex ist. Dies wurde 1987 von M. Salvetti gezeigt [18]. Die Gruppen Hi(Xi,Xi−1) des zellulären Ko-Kettenkomplexes eines CW-Komplexes X sind frei abelsch, mit den i-Zellen von X als Basis. Daher nennen wir einen CW-Komplex minimal, falls die Anzahl der i-Zellen genau dem Rang der Gruppe Hi(X,Q) entspricht. Ausgehend von regulären CW-Komplexen, wie sie Salvetti beschreibt, konstruieren wir minimale Komplexe An−1 und Bn für die Komplemente M(An−1) und M(Bn). Dass heißt, wir konstruieren jeweils einen CW-Komplex, der homotopie-äquivalent zu M(An−1) bzw. M(Bn) ist und der eine minimale Anzahl von Zellen besitzt. Hierzu benutzen wir die Methoden der diskreten Morse Theorie. Diese wurde in den späten 1990er Jahren von R. Forman entwickelt [8]. Mit diesen Methoden kann man die Anzahl der Zellen eines regulären CW-Komplexes verkleinern, ohne seinen Homotopie-Typ zu verändern. Parallel zu unserer Arbeit wurde ein allgemeiner Ansatz untersucht, wie man CW-Komplexe mit Hilfe diskreter Morse Theorie findet, welche homotopie- äquivalent zum Komplement eines gegebenen Arrangements sind [19]. Unser Ansatz unterscheidet sich von jenem und führt, im Falle unserer Beispiele, zu detaillierteren Resultaten. Es ist bekannt, dass die Erzeuger der Kohomologie-Gruppen der Komplemente M(An−1) und M(Bn−1) den Elementen der zugeh¨origen Spiegelungsgruppen Sn und SB n entsprechen [1]. Hierbei ist Sn die symmetrische Gruppe und SB n die Gruppe der signed permutations. Diese besteht aus den Permuationen der Menge [±n] := {1, . . . , n,−n, . . . ,−1}, so dass ω(−a) = −ω(a) für alle a ∈ [±n]. Tatsächlich ist die Anzahl der Zellen der minimalen Komplexe An−1 und Bn gleich der Anzahl der Elemente der Gruppen Sn bzw. SB n . Die Zell-Ordnung eines CW-Komplexes X ist definiert durch die Ordnung auf den Zellen von X, mit σ ≤ τ für zwei Zellen σ und τ von X, genau dann, wenn der Abschluss von σ im Abschluss von τ enthalten ist. Die partiell geordnete Menge der auf diese Weise geordneten Zelle von X heißt face poset von X. Ein großer Teil der Arbeit befasst sich mit der Zell-Ordnung der beiden minimalen Komplexe. Im Falle des Komplexes An−1 lässt sich eine prägnante Beschreibung der Ordnung herleiten. Die Zellordnung des Komplexes Bn scheint zu kompliziert, um ebenso prägnant beschrieben zu werden. Daher verfolgen wir den Ansatz, diese mit Hilfe bestimmter Mechanismen zu beschreiben, welche auf die Zellen des Komplexes angewendet werden können, um neue Zellen zu erzeugen.