Minimal CW-Complexes for Complements of Reflection Arrangements of Type A_(n-1) and B_(n)

An arrangement of hyperplanes (or just an arrangement) A is a finite collection of linear subspaces of codimension 1 in a finite dimensional vector space. Each hyperplane H is the kernel of a linear function αH, which is unique up to a constant. ARn−1 denotes the braid arrangement in Rn, consist...

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1. Verfasser: Djawadi, Daniel
Beteiligte: Welker, Volkmar (Prof.) (BetreuerIn (Doktorarbeit))
Format: Dissertation
Sprache:Englisch
Veröffentlicht: Philipps-Universität Marburg 2009
Mathematik und Informatik
Schlagworte:
Online Zugang:PDF-Volltext
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author Djawadi, Daniel
spellingShingle Djawadi, Daniel
Hyperebene
Complement
Arrangement
Mathematik
Braid arrangement
CW-Komplex
CW-complex
Spiegelungsgruppe
Reflection
Ein Arrangement von Hyperebenen A (kurz: Arrangement) besteht aus einer endlichen Menge von linearen Unterr¨aumen der Kodimension 1 in einem endlichdimensionalen Vektorraum. Jede dieser Hyperebenen H ist der Kern einer linearen Abbildung αH, welche bis auf Konstanten eindeutig ist. AR n−1 bezeichnet das Braid-Arrangement im Rn. Es besteht aus den Hyperebenen Hi,j := {x ∈ Rn | xi = xj} f¨ur 1 ≤ i < j ≤ n. BR n bezeichnet das Arrangement im Rn, dass zus¨atzlich zu den Hyperebenen Hi,j des Braid-Arrangements, die Hyperebenen Hi,−j := {x ∈ Rn | xi = −xj}, 1 ≤ i < j ≤ n, und die Koordinaten-Hyperebenen Hi := {x ∈ Rn | xi = 0}, i = 1, . . . , n, enth¨alt. Als Komplexifizierung eines reellen Arrangments im Rn versteht man das Arrangement im Cn, welches durch dieselben definierenden Linearformen gegeben ist. Wir verzichten auf den Index C und bezeichnen mit An−1 bzw. Bn die Komplexifizierungen der beiden Arrangements, die wir oben definiert haben. Die Notation ist in Anlehnung an die zugehörigen Spiegelungsgruppen An−1 und Bn gewählt. Für ein Hyperebenen Arrangement A definieren wir das Komplement M(A) von A als das Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen in A. In dieser Arbeit untersuchen wir die Komplemente M(An−1) ⊂ Cn und M(Bn) ⊂ Cn der Komplexifizierungen der beiden obigen reellen Arrangements. Die topologischen Eigenschaften solcher Komplemente werden seit den frühen 1970er Jahren untersucht. P. Deligne zeigte 1972, dass das Komplement eines komplexifizierten Arrangements K(π, 1) ist, falls die Regionen, die durch die 103 Hyperebenen im Rn entstehen simpliziale Kegel sind [7]. Wichtig f¨ur diese Arbeit ist die Tatsache, dass das Komplement eines komplexifizierten reellen Arrangements homotopie-äquivalent zu einem regulären CW-Komplex ist. Dies wurde 1987 von M. Salvetti gezeigt [18]. Die Gruppen Hi(Xi,Xi−1) des zellulären Ko-Kettenkomplexes eines CW-Komplexes X sind frei abelsch, mit den i-Zellen von X als Basis. Daher nennen wir einen CW-Komplex minimal, falls die Anzahl der i-Zellen genau dem Rang der Gruppe Hi(X,Q) entspricht. Ausgehend von regulären CW-Komplexen, wie sie Salvetti beschreibt, konstruieren wir minimale Komplexe An−1 und Bn für die Komplemente M(An−1) und M(Bn). Dass heißt, wir konstruieren jeweils einen CW-Komplex, der homotopie-äquivalent zu M(An−1) bzw. M(Bn) ist und der eine minimale Anzahl von Zellen besitzt. Hierzu benutzen wir die Methoden der diskreten Morse Theorie. Diese wurde in den späten 1990er Jahren von R. Forman entwickelt [8]. Mit diesen Methoden kann man die Anzahl der Zellen eines regulären CW-Komplexes verkleinern, ohne seinen Homotopie-Typ zu verändern. Parallel zu unserer Arbeit wurde ein allgemeiner Ansatz untersucht, wie man CW-Komplexe mit Hilfe diskreter Morse Theorie findet, welche homotopie- äquivalent zum Komplement eines gegebenen Arrangements sind [19]. Unser Ansatz unterscheidet sich von jenem und führt, im Falle unserer Beispiele, zu detaillierteren Resultaten. Es ist bekannt, dass die Erzeuger der Kohomologie-Gruppen der Komplemente M(An−1) und M(Bn−1) den Elementen der zugeh¨origen Spiegelungsgruppen Sn und SB n entsprechen [1]. Hierbei ist Sn die symmetrische Gruppe und SB n die Gruppe der signed permutations. Diese besteht aus den Permuationen der Menge [±n] := {1, . . . , n,−n, . . . ,−1}, so dass ω(−a) = −ω(a) für alle a ∈ [±n]. Tatsächlich ist die Anzahl der Zellen der minimalen Komplexe An−1 und Bn gleich der Anzahl der Elemente der Gruppen Sn bzw. SB n . Die Zell-Ordnung eines CW-Komplexes X ist definiert durch die Ordnung auf den Zellen von X, mit σ ≤ τ für zwei Zellen σ und τ von X, genau dann, wenn der Abschluss von σ im Abschluss von τ enthalten ist. Die partiell geordnete Menge der auf diese Weise geordneten Zelle von X heißt face poset von X. Ein großer Teil der Arbeit befasst sich mit der Zell-Ordnung der beiden minimalen Komplexe. Im Falle des Komplexes An−1 lässt sich eine prägnante Beschreibung der Ordnung herleiten. Die Zellordnung des Komplexes Bn scheint zu kompliziert, um ebenso prägnant beschrieben zu werden. Daher verfolgen wir den Ansatz, diese mit Hilfe bestimmter Mechanismen zu beschreiben, welche auf die Zellen des Komplexes angewendet werden können, um neue Zellen zu erzeugen.
Minimal CW-Complexes for Complements of Reflection Arrangements of Type A_(n-1) and B_(n)
author2 Welker, Volkmar (Prof.)
author2_role ths
institution Mathematik und Informatik
first_indexed 2009-05-06T00:00:00Z
publishDate 2009
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title_alt Minimale CW-Komplexe für Komplemente von Spiegelungs-Arrangements vom Typ A_(n-1) und B_(n)
format Dissertation
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xMetaDissPlus
topic Hyperebene
Complement
Arrangement
Mathematik
Braid arrangement
CW-Komplex
CW-complex
Spiegelungsgruppe
Reflection
last_indexed 2011-08-10T23:59:59Z
contents Ein Arrangement von Hyperebenen A (kurz: Arrangement) besteht aus einer endlichen Menge von linearen Unterr¨aumen der Kodimension 1 in einem endlichdimensionalen Vektorraum. Jede dieser Hyperebenen H ist der Kern einer linearen Abbildung αH, welche bis auf Konstanten eindeutig ist. AR n−1 bezeichnet das Braid-Arrangement im Rn. Es besteht aus den Hyperebenen Hi,j := {x ∈ Rn | xi = xj} f¨ur 1 ≤ i < j ≤ n. BR n bezeichnet das Arrangement im Rn, dass zus¨atzlich zu den Hyperebenen Hi,j des Braid-Arrangements, die Hyperebenen Hi,−j := {x ∈ Rn | xi = −xj}, 1 ≤ i < j ≤ n, und die Koordinaten-Hyperebenen Hi := {x ∈ Rn | xi = 0}, i = 1, . . . , n, enth¨alt. Als Komplexifizierung eines reellen Arrangments im Rn versteht man das Arrangement im Cn, welches durch dieselben definierenden Linearformen gegeben ist. Wir verzichten auf den Index C und bezeichnen mit An−1 bzw. Bn die Komplexifizierungen der beiden Arrangements, die wir oben definiert haben. Die Notation ist in Anlehnung an die zugehörigen Spiegelungsgruppen An−1 und Bn gewählt. Für ein Hyperebenen Arrangement A definieren wir das Komplement M(A) von A als das Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen in A. In dieser Arbeit untersuchen wir die Komplemente M(An−1) ⊂ Cn und M(Bn) ⊂ Cn der Komplexifizierungen der beiden obigen reellen Arrangements. Die topologischen Eigenschaften solcher Komplemente werden seit den frühen 1970er Jahren untersucht. P. Deligne zeigte 1972, dass das Komplement eines komplexifizierten Arrangements K(π, 1) ist, falls die Regionen, die durch die 103 Hyperebenen im Rn entstehen simpliziale Kegel sind [7]. Wichtig f¨ur diese Arbeit ist die Tatsache, dass das Komplement eines komplexifizierten reellen Arrangements homotopie-äquivalent zu einem regulären CW-Komplex ist. Dies wurde 1987 von M. Salvetti gezeigt [18]. Die Gruppen Hi(Xi,Xi−1) des zellulären Ko-Kettenkomplexes eines CW-Komplexes X sind frei abelsch, mit den i-Zellen von X als Basis. Daher nennen wir einen CW-Komplex minimal, falls die Anzahl der i-Zellen genau dem Rang der Gruppe Hi(X,Q) entspricht. Ausgehend von regulären CW-Komplexen, wie sie Salvetti beschreibt, konstruieren wir minimale Komplexe An−1 und Bn für die Komplemente M(An−1) und M(Bn). Dass heißt, wir konstruieren jeweils einen CW-Komplex, der homotopie-äquivalent zu M(An−1) bzw. M(Bn) ist und der eine minimale Anzahl von Zellen besitzt. Hierzu benutzen wir die Methoden der diskreten Morse Theorie. Diese wurde in den späten 1990er Jahren von R. Forman entwickelt [8]. Mit diesen Methoden kann man die Anzahl der Zellen eines regulären CW-Komplexes verkleinern, ohne seinen Homotopie-Typ zu verändern. Parallel zu unserer Arbeit wurde ein allgemeiner Ansatz untersucht, wie man CW-Komplexe mit Hilfe diskreter Morse Theorie findet, welche homotopie- äquivalent zum Komplement eines gegebenen Arrangements sind [19]. Unser Ansatz unterscheidet sich von jenem und führt, im Falle unserer Beispiele, zu detaillierteren Resultaten. Es ist bekannt, dass die Erzeuger der Kohomologie-Gruppen der Komplemente M(An−1) und M(Bn−1) den Elementen der zugeh¨origen Spiegelungsgruppen Sn und SB n entsprechen [1]. Hierbei ist Sn die symmetrische Gruppe und SB n die Gruppe der signed permutations. Diese besteht aus den Permuationen der Menge [±n] := {1, . . . , n,−n, . . . ,−1}, so dass ω(−a) = −ω(a) für alle a ∈ [±n]. Tatsächlich ist die Anzahl der Zellen der minimalen Komplexe An−1 und Bn gleich der Anzahl der Elemente der Gruppen Sn bzw. SB n . Die Zell-Ordnung eines CW-Komplexes X ist definiert durch die Ordnung auf den Zellen von X, mit σ ≤ τ für zwei Zellen σ und τ von X, genau dann, wenn der Abschluss von σ im Abschluss von τ enthalten ist. Die partiell geordnete Menge der auf diese Weise geordneten Zelle von X heißt face poset von X. Ein großer Teil der Arbeit befasst sich mit der Zell-Ordnung der beiden minimalen Komplexe. Im Falle des Komplexes An−1 lässt sich eine prägnante Beschreibung der Ordnung herleiten. Die Zellordnung des Komplexes Bn scheint zu kompliziert, um ebenso prägnant beschrieben zu werden. Daher verfolgen wir den Ansatz, diese mit Hilfe bestimmter Mechanismen zu beschreiben, welche auf die Zellen des Komplexes angewendet werden können, um neue Zellen zu erzeugen.
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language English
publisher Philipps-Universität Marburg
description An arrangement of hyperplanes (or just an arrangement) A is a finite collection of linear subspaces of codimension 1 in a finite dimensional vector space. Each hyperplane H is the kernel of a linear function αH, which is unique up to a constant. ARn−1 denotes the braid arrangement in Rn, consisting of the hyperplanes Hi,j := {x ∈ Rn | xi = xj}, for 1 ≤ i < j ≤ n. BR n denotes the arrangement in Rn which in addition to the hyperplanes Hi,j of the braid arrangement consists of the hyperplanes Hi,−j := {x ∈ Rn | xi = −xj}, for 1 ≤ i < j ≤ n and the coordinatehyperplanes Hi := {x ∈ Rn | xi = 0}, for i = 1, . . . , n. A complexification of a real hyperplane arrangement in Rn is defined to be the hyperplane arrangement in Cn which is defined by the same linear forms. We omit the index C and denote by An−1 and Bn the complexifications of the real arrangements AR n−1 and BR n, respectively. The notation is chosen according to the respective reflection groups of type An−1 and Bn. For an arrangement of hyperplanes A we denote by M(A) the complement of the union of all hyperplanes of A. The complements M(An−1) and M(Bn) of the complexifications of the two arrangements above are the objects of our study. The topology of such complements have been the subject of studies since the early 1970’s. The development started in 1972, when P. Deligne proved that the complement of a complexified arrangement is K(π, 1) when the chambers of the subdivision of Rn induced by the hyperplanes are simplicial cones [7]. 1 With regard to this thesis one result of M. Salvetti from 1987 is of great importance. He proved that the complement of a complexified real hyperplane arrangement is homotopy equivalent to a regular CW-complex [18]. Since the groups Hi(Xi,Xi−1) of the cellular cochain complex of a CW-complex X are free abelian with basis in one-to-one correspondence with the i-cells of X, we call a CW-complex minimal if its number of cells of dimension i equals the rank of the cohomology group Hi(X,Q). Taking the regular CW-complexes, which are based on Salvetti’s work, as a starting point, we derive minimal CW-complexes An−1 and Bn for the complements M(An−1) ⊂ Cn and M(Bn) ⊂ Cn of the complexifications of the two arrangements above. Hence, we deduce CW-complexes which are homotopy equivalent to M(An−1) or M(Bn) and which have a minimal number of cells. In order to decrease the number of cells, discrete Morse Theory provides our basis tool. It was developed by R. Forman in the late 1990’s. Discrete Morse Theory allows to decimate the number of cells of a regular CW-complex without changing its homotopy type. Parallel to our work, a general approach to finding a CW-complex homotopic to the complement of an arrangement using discrete Morse theory was developed in [19]. Our approach is different for the cases studied and leads to a much more explicit description than the statement in [19]. It is well known that the rank of the cohomology groups Hi(M(An−1),Q) and Hi(M(Bn),Q) of the complementsM(An−1) andM(Bn) equals the number of elements of length i in the underlying reflection groups Sn and SB n , respectively [1]. Here, Sn is the symmetric group and SB n is the group of signed permutations, consisting of all bijections ω of the set [±n] := {1, . . . , n,−n, . . . ,−1} onto itself, such that ω(−a) = −ω(a) for all a ∈ [±n]. Indeed, the numbers of cells of the minimal complexes An−1 and Bn are equal to the numbers of elements in Sn and SB n , respectively. The cell-order of a CW-complex X is defined to be the order relation on the cells of X with σ ≤ τ for two cells σ, τ of X if and only if the closure of σ is contained in the closure of τ . The poset of all cells of X ordered in this way is called the face poset of X. A main part of this thesis is devoted to the cell-orders of the minimal CW-complexes. In case of the complex An−1 the face poset turns out to have a concise description. The combinatorics of the face poset of Bn seems to be too complicated to be described through a concise and explicit rule. Thus we formulate a description in terms of mechanisms which allow to construct the cells B with A < B from a given cell A. Even though this description is relatively compact, there 2 is still a lot of combinatorics included that has yet to be discovered.
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spelling diss/z2009/0111 urn:nbn:de:hebis:04-z2009-01114 2009-05-06 2009 Minimale CW-Komplexe für Komplemente von Spiegelungs-Arrangements vom Typ A_(n-1) und B_(n) 2009-04-16 2011-08-10 Ein Arrangement von Hyperebenen A (kurz: Arrangement) besteht aus einer endlichen Menge von linearen Unterr¨aumen der Kodimension 1 in einem endlichdimensionalen Vektorraum. Jede dieser Hyperebenen H ist der Kern einer linearen Abbildung αH, welche bis auf Konstanten eindeutig ist. AR n−1 bezeichnet das Braid-Arrangement im Rn. Es besteht aus den Hyperebenen Hi,j := {x ∈ Rn | xi = xj} f¨ur 1 ≤ i < j ≤ n. BR n bezeichnet das Arrangement im Rn, dass zus¨atzlich zu den Hyperebenen Hi,j des Braid-Arrangements, die Hyperebenen Hi,−j := {x ∈ Rn | xi = −xj}, 1 ≤ i < j ≤ n, und die Koordinaten-Hyperebenen Hi := {x ∈ Rn | xi = 0}, i = 1, . . . , n, enth¨alt. Als Komplexifizierung eines reellen Arrangments im Rn versteht man das Arrangement im Cn, welches durch dieselben definierenden Linearformen gegeben ist. Wir verzichten auf den Index C und bezeichnen mit An−1 bzw. Bn die Komplexifizierungen der beiden Arrangements, die wir oben definiert haben. Die Notation ist in Anlehnung an die zugehörigen Spiegelungsgruppen An−1 und Bn gewählt. Für ein Hyperebenen Arrangement A definieren wir das Komplement M(A) von A als das Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen in A. In dieser Arbeit untersuchen wir die Komplemente M(An−1) ⊂ Cn und M(Bn) ⊂ Cn der Komplexifizierungen der beiden obigen reellen Arrangements. Die topologischen Eigenschaften solcher Komplemente werden seit den frühen 1970er Jahren untersucht. P. Deligne zeigte 1972, dass das Komplement eines komplexifizierten Arrangements K(π, 1) ist, falls die Regionen, die durch die 103 Hyperebenen im Rn entstehen simpliziale Kegel sind [7]. Wichtig f¨ur diese Arbeit ist die Tatsache, dass das Komplement eines komplexifizierten reellen Arrangements homotopie-äquivalent zu einem regulären CW-Komplex ist. Dies wurde 1987 von M. Salvetti gezeigt [18]. Die Gruppen Hi(Xi,Xi−1) des zellulären Ko-Kettenkomplexes eines CW-Komplexes X sind frei abelsch, mit den i-Zellen von X als Basis. Daher nennen wir einen CW-Komplex minimal, falls die Anzahl der i-Zellen genau dem Rang der Gruppe Hi(X,Q) entspricht. Ausgehend von regulären CW-Komplexen, wie sie Salvetti beschreibt, konstruieren wir minimale Komplexe An−1 und Bn für die Komplemente M(An−1) und M(Bn). Dass heißt, wir konstruieren jeweils einen CW-Komplex, der homotopie-äquivalent zu M(An−1) bzw. M(Bn) ist und der eine minimale Anzahl von Zellen besitzt. Hierzu benutzen wir die Methoden der diskreten Morse Theorie. Diese wurde in den späten 1990er Jahren von R. Forman entwickelt [8]. Mit diesen Methoden kann man die Anzahl der Zellen eines regulären CW-Komplexes verkleinern, ohne seinen Homotopie-Typ zu verändern. Parallel zu unserer Arbeit wurde ein allgemeiner Ansatz untersucht, wie man CW-Komplexe mit Hilfe diskreter Morse Theorie findet, welche homotopie- äquivalent zum Komplement eines gegebenen Arrangements sind [19]. Unser Ansatz unterscheidet sich von jenem und führt, im Falle unserer Beispiele, zu detaillierteren Resultaten. Es ist bekannt, dass die Erzeuger der Kohomologie-Gruppen der Komplemente M(An−1) und M(Bn−1) den Elementen der zugeh¨origen Spiegelungsgruppen Sn und SB n entsprechen [1]. Hierbei ist Sn die symmetrische Gruppe und SB n die Gruppe der signed permutations. Diese besteht aus den Permuationen der Menge [±n] := {1, . . . , n,−n, . . . ,−1}, so dass ω(−a) = −ω(a) für alle a ∈ [±n]. Tatsächlich ist die Anzahl der Zellen der minimalen Komplexe An−1 und Bn gleich der Anzahl der Elemente der Gruppen Sn bzw. SB n . Die Zell-Ordnung eines CW-Komplexes X ist definiert durch die Ordnung auf den Zellen von X, mit σ ≤ τ für zwei Zellen σ und τ von X, genau dann, wenn der Abschluss von σ im Abschluss von τ enthalten ist. Die partiell geordnete Menge der auf diese Weise geordneten Zelle von X heißt face poset von X. Ein großer Teil der Arbeit befasst sich mit der Zell-Ordnung der beiden minimalen Komplexe. Im Falle des Komplexes An−1 lässt sich eine prägnante Beschreibung der Ordnung herleiten. Die Zellordnung des Komplexes Bn scheint zu kompliziert, um ebenso prägnant beschrieben zu werden. Daher verfolgen wir den Ansatz, diese mit Hilfe bestimmter Mechanismen zu beschreiben, welche auf die Zellen des Komplexes angewendet werden können, um neue Zellen zu erzeugen. An arrangement of hyperplanes (or just an arrangement) A is a finite collection of linear subspaces of codimension 1 in a finite dimensional vector space. Each hyperplane H is the kernel of a linear function αH, which is unique up to a constant. ARn−1 denotes the braid arrangement in Rn, consisting of the hyperplanes Hi,j := {x ∈ Rn | xi = xj}, for 1 ≤ i < j ≤ n. BR n denotes the arrangement in Rn which in addition to the hyperplanes Hi,j of the braid arrangement consists of the hyperplanes Hi,−j := {x ∈ Rn | xi = −xj}, for 1 ≤ i < j ≤ n and the coordinatehyperplanes Hi := {x ∈ Rn | xi = 0}, for i = 1, . . . , n. A complexification of a real hyperplane arrangement in Rn is defined to be the hyperplane arrangement in Cn which is defined by the same linear forms. We omit the index C and denote by An−1 and Bn the complexifications of the real arrangements AR n−1 and BR n, respectively. The notation is chosen according to the respective reflection groups of type An−1 and Bn. For an arrangement of hyperplanes A we denote by M(A) the complement of the union of all hyperplanes of A. The complements M(An−1) and M(Bn) of the complexifications of the two arrangements above are the objects of our study. The topology of such complements have been the subject of studies since the early 1970’s. The development started in 1972, when P. Deligne proved that the complement of a complexified arrangement is K(π, 1) when the chambers of the subdivision of Rn induced by the hyperplanes are simplicial cones [7]. 1 With regard to this thesis one result of M. Salvetti from 1987 is of great importance. He proved that the complement of a complexified real hyperplane arrangement is homotopy equivalent to a regular CW-complex [18]. Since the groups Hi(Xi,Xi−1) of the cellular cochain complex of a CW-complex X are free abelian with basis in one-to-one correspondence with the i-cells of X, we call a CW-complex minimal if its number of cells of dimension i equals the rank of the cohomology group Hi(X,Q). Taking the regular CW-complexes, which are based on Salvetti’s work, as a starting point, we derive minimal CW-complexes An−1 and Bn for the complements M(An−1) ⊂ Cn and M(Bn) ⊂ Cn of the complexifications of the two arrangements above. Hence, we deduce CW-complexes which are homotopy equivalent to M(An−1) or M(Bn) and which have a minimal number of cells. In order to decrease the number of cells, discrete Morse Theory provides our basis tool. It was developed by R. Forman in the late 1990’s. Discrete Morse Theory allows to decimate the number of cells of a regular CW-complex without changing its homotopy type. Parallel to our work, a general approach to finding a CW-complex homotopic to the complement of an arrangement using discrete Morse theory was developed in [19]. Our approach is different for the cases studied and leads to a much more explicit description than the statement in [19]. It is well known that the rank of the cohomology groups Hi(M(An−1),Q) and Hi(M(Bn),Q) of the complementsM(An−1) andM(Bn) equals the number of elements of length i in the underlying reflection groups Sn and SB n , respectively [1]. Here, Sn is the symmetric group and SB n is the group of signed permutations, consisting of all bijections ω of the set [±n] := {1, . . . , n,−n, . . . ,−1} onto itself, such that ω(−a) = −ω(a) for all a ∈ [±n]. Indeed, the numbers of cells of the minimal complexes An−1 and Bn are equal to the numbers of elements in Sn and SB n , respectively. The cell-order of a CW-complex X is defined to be the order relation on the cells of X with σ ≤ τ for two cells σ, τ of X if and only if the closure of σ is contained in the closure of τ . The poset of all cells of X ordered in this way is called the face poset of X. A main part of this thesis is devoted to the cell-orders of the minimal CW-complexes. In case of the complex An−1 the face poset turns out to have a concise description. The combinatorics of the face poset of Bn seems to be too complicated to be described through a concise and explicit rule. Thus we formulate a description in terms of mechanisms which allow to construct the cells B with A < B from a given cell A. Even though this description is relatively compact, there 2 is still a lot of combinatorics included that has yet to be discovered. Minimal CW-Complexes for Complements of Reflection Arrangements of Type A_(n-1) and B_(n) opus:2341 Djawadi, Daniel Djawadi Daniel ths Prof. Welker Volkmar Welker, Volkmar (Prof.) Philipps-Universität Marburg
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