Properties of Time-Dependent Stokes Flow and the Regularization ofVelocity Flucutations in Particle Suspensions

Sedimentation bezeichnet die Ablagerung von Teilchen in einer Flüssigkeit unter dem Einfluss einer äußeren Kraft, wie etwa der Schwerkraft oder der Zentrifugalkraft. Sedimentation spielt in einer Vielzahl von natürlichen und industriellen Prozessen eine wesentliche Rolle. Oberflächenstruktur und Teilchengröße sind dabei für die jeweiligen Prozesse sehr verschieden. Wesentliche Eigenschaften der Sedimentation sind jedoch von der Teilchenbeschaffenheit unabhängig. Zur Untersuchung dieser wird in der experimentellen Physik überwiegend die Sedimentation von Glaskugeln in einem Behälter studiert. Experimentelle Messungen zeigen, dass die Sinkgeschwindigkeit von der Teilchenkonzentration abhängt. Diese Messungen können sehr gut theoretisch beschrieben werden. Im Gegensatz dazu stehen experimentelle Messungen der Geschwindigkeitsfluktuationen im krassen Widerspruch zu theoretischen Vorhersagen und numerischen Simulationen. Basierend auf der zeitunabhängigen Stokesgleichung haben Caflisch und Luke (Phys. Fluids, 28:759, 1985) theoretisch gezeigt, dass die Geschwindigkeitsfluktuationen einer Teilchensuspension bei homogener Verteilung der Teilchen proportional zur Größe des Behälters ist: Die Strömung, welche durch ein Teilchen erzeugt wird, fällt antiproportional zum Abstand vom Teilchen ab. Bei einer homogenen Teilchenverteilung befinden sich in einer Kugelschale mit Dicke $dr$ im Abstand $r$ von einem vorgegebenen Punkt $r^2 dr$ Teilchen. Die Geschwindigkeitsfluktuation am vorgegeben Punkt ist proportional zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit, also proportional zu $1/r^2$. Damit trägt jede Kugelschale unabhängig vom Abstand zur Fluktuation bei. Das Integral über alle Kugelschalen führt dazu, dass die Fluktuation der Geschwindigkeit am vorgegeben Punkt divergiert, beziehungsweise linear von der Größe des Behälters abhängt. Die Abhängigkeit der Geschwindigkeitsfluktuationen von der Behältergröße wird durch numerische Simulationen bestätigt. Entgegen der theoretischen Vorhersage wird im Experiment keine solche Divergenz beobachtet. Experimente zeigen, dass die Fluktuationen unabhängig von der Behältergröße sind und im Wesentlichen durch den gegenseitigen Abstand der Teilchen bestimmt werden. Umfassende theoretische Untersuchungen haben, um eine Erklärung der Diskrepanz bemüht, den Einfluß der Behälterwand und Inhomogenitäten der Teilchenkonzentration untersucht. Die Diskrepanz ist dennoch nicht geklärt. Sämtliche theoretische und numerische Untersuchungen beschreiben die Strömung zwischen den Teilchen durch die zeitunabhängige Stokesgleichung. In dieser Arbeit wird untersucht, was sich ändert, wenn man diese Vereinfachung aufgibt und die Strömung zwischen den Teilchen durch die zeitabhängige Stokesgleichung beschreibt, wenn man also die interne zeitliche Entwicklung des Strömungsfeldes mit einbezieht. Nach einer Untersuchung der Eigenschaften zeitabhängiger Stokesströmung wird in Kapitel 4 auf das Problem der divergenten Geschwindigkeitsfluktuationen bei der Sedimentation eingegangen. Die Regularisierung der Fluktuationen wird an einem verwandten Problem transparenter. Die Fluktuationen des Konzentrationsfeldes, welches von einer homogenen Verteilung von Quellen erzeugt wird, werden untersucht. Wenn sich der Beitrag einer Quelle zum Konzentrationsfeld instantan der Quelle anpasst, erhält man, ähnlich zur zeitunabhängigen Stokesströmung um eine Kugel, einen Abfall des Konzentrationsfeldes mit dem Abstand $r$ wie $1/r$. Die Fluktuationen des Konzentrationsfeldes fallen ab wie $1/r^2$. Die Integration über die homogene Verteilung führt auf das Ergebnis von Caflisch und Luke. Wenn man hingegen die vollständige Lösung des Konzentrationsfeldes in Betracht zieht, dann sind die Fluktuationen regulär. Dies rührt daher, dass aufgrund der endlichen Reichweite der Diffusion die Fluktuationen des Konzentrationsfeldes ab einem endlichen Abstand wesentlich stärker abfallen als $1/r^2$. Die Argumentation für Teilchensuspensionen erfolgt analog. Man stellt fest, dass die Fluktuationen in der zeitabhängigen Beschreibung endlich sind. Diese Arbeit zeigt, dass die zeitabhängige Behandlung der Strömung eine wesentliche Rolle für die Sedimentation von Teilchen spielt, und legt die Grundlagen für nachfolgende Untersuchungen.