Algebraic Discrete Morse Theory and Applications to Commutative Algebra

In dieser Doktorarbeit verallgemeinern wir die Diskrete Morse Theorie von Forman auf eine algebraische Version, die wir Algebraische Diskrete Morse- Theorie nennen. Ziel der Theorie ist es zu einem gegebenem algebraischem Kettenkomplex freier R-Moduln einen Homotopie-äquivalenten Kettenkomplex...

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1. Verfasser: Jöllenbeck, Michael
Beteiligte: Welker, Volkmar (Prof. Dr.) (BetreuerIn (Doktorarbeit))
Format: Dissertation
Sprache:Englisch
Veröffentlicht: Philipps-Universität Marburg 2005
Reine und Angewandte Mathematik
Schlagworte:
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building Fachbereich Mathematik und Informatik
description In dieser Doktorarbeit verallgemeinern wir die Diskrete Morse Theorie von Forman auf eine algebraische Version, die wir Algebraische Diskrete Morse- Theorie nennen. Ziel der Theorie ist es zu einem gegebenem algebraischem Kettenkomplex freier R-Moduln einen Homotopie-äquivalenten Kettenkomplex zu konstruieren, dessen Ränge in den einzelnen homologischen Graden kleiner sind. Die Idee unserer Theorie ist es den Komplex als gerichteten Graphen zu interpretieren, und dann in diesem Graphen nach möglichst großen azyklischen Matchings zu suchen. Mit Hilfe dieser azyklischen Matchings wird ein sogenannter Morse-Graph konstruiert und wir beweisen, dass dessen zugehöriger Kettenkomplex dieselbe Homologie wie der Ausgangskomplex hat. Der Hauptteil der Arbeit besteht aus Anwendungen unserer Theorie in der Kommutativen Algebra. Wir verwenden unser Verfahren zur Konstruktion von minimalen multigraduierten freien Auflösungen verschiedener Moduln. In erster Linie beschäftigen wir uns mit der Konstruktion von minimalen freien Auflösungen des Restklassenkörpers über Quotientenringen aus dem (nicht notwendig kommutativen) Polynomring und einem beliebigen Ideal. Hier bekommen wir für verschiedene Klassen von Ringen neue minimale Auflösungen des Restklassenkörpers. Unter anderem können wir damit eine Vermutung von Sturmfels beweisen und ein Resultat von BACH zur Berechnung der Hochschild-Homologie deutlich verallgemeinern. Für den Fall, dass der Quotientenring aus einem kommutativen Polynomring und einem monomialen Ideal gebildet wird sind wir insbesondere an der Poincare-Betti Reihe interessiert. Bekannt ist, dass in diesem Fall die Poincare-Betti Reihe eine rationale Funktion ist. Eine konkrete Gestalt war jedoch bis jetzt nicht bekannt. Mit Hilfe der Algebraischen Diskreten Morse-Theorie konstruieren wir einen graduierten Vektorraum von dem wir vermuten, dass er als Vektorraum isomorph zur minimalen Auflösung des Körpers ist. Da wir die Hilbertreihe dieses Vektorraums ausrechnen können, bekommen wir eine explizite Gestalt der multigraduierten Poincare-Betti Reihe für solche Ringe. Unsere Form der Poincare-Betti Reihe präzisiert eine Vermutung von Charalambous und Reeves. Wir beweisen unsere Vermutung über die minimale Auflösung des Restklassenkörpers für verschiedene Klassen von monomialen Ringen. Da die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen durch eine spezielle Form der Poincare-Betti Reihe charakterisiert werden kann, bekommen wir mit unserer Gestalt der Poincare-Betti Reihe neue kombinatorische Kriterien für die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen, die nur von den Erzeugern des herausdividierten Ideals abhängen. Ein weiterer Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion minimaler Auflösungen von Borel bzw. p-Borel fixed Idealen. Über Auflösungen von p-Borel fixed Idealen war bislang sehr wenig bekannt. Wir beweisen die Existenz von zellulären minimalen Auflösungen für eine neue, relativ große, Klasse von p-Borel fixed Idealen und geben Formeln für deren Poincare-Betti Reihe sowie deren Regularität. Diese Formeln verallgemeinern bestehende Resultate. Zum Schluss werden zwei verwandte Probleme aus der algebraischen Kombinatorik diskutiert. Das erste Problem beschäftigt sich mit Homologien von nilpotenten Lie-Algebren und das zweite behandelte Problem ist die Neggers-Stanley Vermutung über die Unimodalität spezieller Polynome. Für beide Probleme präsentieren wir einige Resultate und Lösungsansätze für den allgemeinen Fall.
topic Algebraische Diskrete Morse-Theorie
Algebraische Kombinatorik
Kommutative Algebra
Golod-Rings
Poincare-Betti series
Poincare-Betti Reihe
Freie Auflösungen
Algebraic Discrete Morse Theory
Free Resolutions
Mathematik
Golod-Ringe
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Golod-Rings
Poincare-Betti series
Poincare-Betti Reihe
Freie Auflösungen
Algebraic Discrete Morse Theory
Free Resolutions
Mathematik
Golod-Ringe
Jöllenbeck, Michael
Algebraic Discrete Morse Theory and Applications to Commutative Algebra
In this PhD thesis we generalize Forman's Discrete Morse Theory to an algebraic version in order to calculate the homology of arbitrary algebraic chain complexes of free R-modules. We call this generalization Algebraic Discrete Morse Theory. The idea is to construct from a given chain complex of free R-modules an homotopic equivalent chain complex with fewer copies of R. In order to do so we associate to a given complex a directed graph, which represents the complex completely. In this graph we look for so called acyclic matchings, which are as large as possible and then construct smaller graphs, which can be interpreted as a chain complex. We prove that this chain complex has same the homology as the original one. The main part of this thesis consists of applications of our theory to commutative algebra. Using Algebraic Discrete Morse Theory, we construct minimal multigraded free resolutions for several classes of A-modules, where A is a polynomial ring (not necessarily commutative), divided by an arbitrary ideal. If one knows the minimal resolution one can study the multigraded Poincare-Betti series of the module. We use Algebraic Discrete Morse Theory in order to formulate a conjecture about the vectorspace structure of the minimal multigraded free resolution of the residue class field A/<x1,...,xn> over a monomial ring A=k[x1,...,xn]/I. This conjecture implies an explicit form of the multigraded Poincare-Betti series in this situation, which is a precise formulation of a vague conjecture about the series made by Charalambous and Reeves. We prove our conjecture for several classes of algebras A. Knowing the Poincare-Betti series we can find new combinatorial criteria for a monomial ring to be Golod. For example we prove that - in case our conjecture is true - Golodness is equivalent to the fact that the first Massey operation on the Koszul homology vanishes. Compared to the original definition of Golodness, this is a rather easy condition. We develop further purely combinatorial conditions for Golodness of k[x1,...,xn]/I, which depend only on the minimal monomial generating system of the ideal I. The next field of applications studied by us is the construction of minimal free resolutions of p-Borel-fixed ideals over the polynomial ring. Here we construct an algorithm, which produces a minimal (even cellular) free resolution for a large class of p-Borel-fixed ideals. In particular we can give formulas for the multigraded Poincare-Betti series and for the regularity of this class of p-Borel fixed ideals. Our formulas generalize known results. Finally we study two related problems in algebraic combinatorics. The first problem concerns the homology of nilpotent Lie-algebras and the second studied problem is the Neggers-Stanley-Conjecture about real-rootness and unimodality of a special class of polynomials. For both problems we present some results and new ideas for the general approach.
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contents In this PhD thesis we generalize Forman's Discrete Morse Theory to an algebraic version in order to calculate the homology of arbitrary algebraic chain complexes of free R-modules. We call this generalization Algebraic Discrete Morse Theory. The idea is to construct from a given chain complex of free R-modules an homotopic equivalent chain complex with fewer copies of R. In order to do so we associate to a given complex a directed graph, which represents the complex completely. In this graph we look for so called acyclic matchings, which are as large as possible and then construct smaller graphs, which can be interpreted as a chain complex. We prove that this chain complex has same the homology as the original one. The main part of this thesis consists of applications of our theory to commutative algebra. Using Algebraic Discrete Morse Theory, we construct minimal multigraded free resolutions for several classes of A-modules, where A is a polynomial ring (not necessarily commutative), divided by an arbitrary ideal. If one knows the minimal resolution one can study the multigraded Poincare-Betti series of the module. We use Algebraic Discrete Morse Theory in order to formulate a conjecture about the vectorspace structure of the minimal multigraded free resolution of the residue class field A/<x1,...,xn> over a monomial ring A=k[x1,...,xn]/I. This conjecture implies an explicit form of the multigraded Poincare-Betti series in this situation, which is a precise formulation of a vague conjecture about the series made by Charalambous and Reeves. We prove our conjecture for several classes of algebras A. Knowing the Poincare-Betti series we can find new combinatorial criteria for a monomial ring to be Golod. For example we prove that - in case our conjecture is true - Golodness is equivalent to the fact that the first Massey operation on the Koszul homology vanishes. Compared to the original definition of Golodness, this is a rather easy condition. We develop further purely combinatorial conditions for Golodness of k[x1,...,xn]/I, which depend only on the minimal monomial generating system of the ideal I. The next field of applications studied by us is the construction of minimal free resolutions of p-Borel-fixed ideals over the polynomial ring. Here we construct an algorithm, which produces a minimal (even cellular) free resolution for a large class of p-Borel-fixed ideals. In particular we can give formulas for the multigraded Poincare-Betti series and for the regularity of this class of p-Borel fixed ideals. Our formulas generalize known results. Finally we study two related problems in algebraic combinatorics. The first problem concerns the homology of nilpotent Lie-algebras and the second studied problem is the Neggers-Stanley-Conjecture about real-rootness and unimodality of a special class of polynomials. For both problems we present some results and new ideas for the general approach.
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Wir verwenden unser Verfahren zur Konstruktion von minimalen multigraduierten freien Auflösungen verschiedener Moduln. In erster Linie beschäftigen wir uns mit der Konstruktion von minimalen freien Auflösungen des Restklassenkörpers über Quotientenringen aus dem (nicht notwendig kommutativen) Polynomring und einem beliebigen Ideal. Hier bekommen wir für verschiedene Klassen von Ringen neue minimale Auflösungen des Restklassenkörpers. Unter anderem können wir damit eine Vermutung von Sturmfels beweisen und ein Resultat von BACH zur Berechnung der Hochschild-Homologie deutlich verallgemeinern. Für den Fall, dass der Quotientenring aus einem kommutativen Polynomring und einem monomialen Ideal gebildet wird sind wir insbesondere an der Poincare-Betti Reihe interessiert. Bekannt ist, dass in diesem Fall die Poincare-Betti Reihe eine rationale Funktion ist. Eine konkrete Gestalt war jedoch bis jetzt nicht bekannt. Mit Hilfe der Algebraischen Diskreten Morse-Theorie konstruieren wir einen graduierten Vektorraum von dem wir vermuten, dass er als Vektorraum isomorph zur minimalen Auflösung des Körpers ist. Da wir die Hilbertreihe dieses Vektorraums ausrechnen können, bekommen wir eine explizite Gestalt der multigraduierten Poincare-Betti Reihe für solche Ringe. Unsere Form der Poincare-Betti Reihe präzisiert eine Vermutung von Charalambous und Reeves. Wir beweisen unsere Vermutung über die minimale Auflösung des Restklassenkörpers für verschiedene Klassen von monomialen Ringen. Da die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen durch eine spezielle Form der Poincare-Betti Reihe charakterisiert werden kann, bekommen wir mit unserer Gestalt der Poincare-Betti Reihe neue kombinatorische Kriterien für die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen, die nur von den Erzeugern des herausdividierten Ideals abhängen. Ein weiterer Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion minimaler Auflösungen von Borel bzw. p-Borel fixed Idealen. Über Auflösungen von p-Borel fixed Idealen war bislang sehr wenig bekannt. Wir beweisen die Existenz von zellulären minimalen Auflösungen für eine neue, relativ große, Klasse von p-Borel fixed Idealen und geben Formeln für deren Poincare-Betti Reihe sowie deren Regularität. Diese Formeln verallgemeinern bestehende Resultate. Zum Schluss werden zwei verwandte Probleme aus der algebraischen Kombinatorik diskutiert. Das erste Problem beschäftigt sich mit Homologien von nilpotenten Lie-Algebren und das zweite behandelte Problem ist die Neggers-Stanley Vermutung über die Unimodalität spezieller Polynome. Für beide Probleme präsentieren wir einige Resultate und Lösungsansätze für den allgemeinen Fall. 2005-05-09 2005-06-09 2011-08-10 Algebraic Discrete Morse Theory and Applications to Commutative Algebra 2005 Algebraische Diskrete Morse-Theorie und Anwendungen in der Kommutativen Algebra opus:1046 In this PhD thesis we generalize Forman's Discrete Morse Theory to an algebraic version in order to calculate the homology of arbitrary algebraic chain complexes of free R-modules. We call this generalization Algebraic Discrete Morse Theory. The idea is to construct from a given chain complex of free R-modules an homotopic equivalent chain complex with fewer copies of R. In order to do so we associate to a given complex a directed graph, which represents the complex completely. In this graph we look for so called acyclic matchings, which are as large as possible and then construct smaller graphs, which can be interpreted as a chain complex. We prove that this chain complex has same the homology as the original one. The main part of this thesis consists of applications of our theory to commutative algebra. Using Algebraic Discrete Morse Theory, we construct minimal multigraded free resolutions for several classes of A-modules, where A is a polynomial ring (not necessarily commutative), divided by an arbitrary ideal. If one knows the minimal resolution one can study the multigraded Poincare-Betti series of the module. We use Algebraic Discrete Morse Theory in order to formulate a conjecture about the vectorspace structure of the minimal multigraded free resolution of the residue class field A/<x1,...,xn> over a monomial ring A=k[x1,...,xn]/I. This conjecture implies an explicit form of the multigraded Poincare-Betti series in this situation, which is a precise formulation of a vague conjecture about the series made by Charalambous and Reeves. We prove our conjecture for several classes of algebras A. Knowing the Poincare-Betti series we can find new combinatorial criteria for a monomial ring to be Golod. For example we prove that - in case our conjecture is true - Golodness is equivalent to the fact that the first Massey operation on the Koszul homology vanishes. Compared to the original definition of Golodness, this is a rather easy condition. We develop further purely combinatorial conditions for Golodness of k[x1,...,xn]/I, which depend only on the minimal monomial generating system of the ideal I. The next field of applications studied by us is the construction of minimal free resolutions of p-Borel-fixed ideals over the polynomial ring. Here we construct an algorithm, which produces a minimal (even cellular) free resolution for a large class of p-Borel-fixed ideals. In particular we can give formulas for the multigraded Poincare-Betti series and for the regularity of this class of p-Borel fixed ideals. Our formulas generalize known results. Finally we study two related problems in algebraic combinatorics. The first problem concerns the homology of nilpotent Lie-algebras and the second studied problem is the Neggers-Stanley-Conjecture about real-rootness and unimodality of a special class of polynomials. For both problems we present some results and new ideas for the general approach. Jöllenbeck, Michael Jöllenbeck Michael ths Prof. Dr. Welker Volkmar Welker, Volkmar (Prof. Dr.) Philipps-Universität Marburg
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